Теперішня вартість ренти

Як було зазначено у п.2.6.1., теперішня величина аннуїтету — це сума всіх дисконтованих членів потоку платежів на деякий попередній момент часу.

Далі буде показано, що теперішня ціна ренти у фінансовому значенні є еквівалентною всім платежам, які охоплюються потоком. Цей узагальнюючий показник є дуже важливим і широко використовується у практиці при страхових розрахунках, погашенні боргів, визначенні ефективності фінансово кредитних операцій.

Розглянемо спочатку на аналітичному простому прикладі, як у п.2.6.2, означення теперішньої вартості ренти. Нехай планується протягом трьох років надходження платежів у розмірі 100 грн. наприкінці року, і на них нараховуватимуться відсотки за ставкою 5% річних. Продисконтуємо кожен із цих трьох платежів за ставкою 5% на початок терміну ренти, тобто перші 100 грн. дисконтуємо за 1 рік, і вартість цих грошей становитиме 100/1,05; другі 100 грн. дисконтуємо за 2 роки, і вартість 'їх дорівнюватиме 100/(1,05)²; треті 100 грн. після дисконтування становитимуть 100/(1,05)³. Покажемо цей процес розрахунків дисконтованих платежів схематично (рис. 2.9.).

початок Лінія відліку часу 123

часу платежі, г.о,100100100

95,24 ^

90,70 <————————1

86.38———————————————

272,32

Рис. 2.9. Розрахунок дисконтованих платежів.

Отже, теперішня вартість річної звичайної ренти з параметрами: 7?= 100 грн.; п=3 роки; /=5% дорівнює 100 100 100 Го5⁺Т^5²"⁺и)5³⁼⁹⁵'²⁴⁺⁹⁰'^70+86)38=272'^{32(^}•^о)•

Узагальнимо цей приклад, щоб вивести формулу теперішньої вартості річної звичайної ренти (А) Якщо рента термінова, тобто момент оцінки теперішньої величини збігається з початком ренти (як у наведеному прикладі), то дисконтовані платежі утворять ряд:

КК К К 1+/'(1+^•)²'(1+0³""'(1+^•)"'

Це скінченна зростаюча геометрична прогресія з першим членом К та знаменником прогресії —= (1+/)~¹.

Знайдемо суму членів такої прогресії

А=К.Ї^^=К.¹^¹^ —— 1'

¹+^/ (2.52)

Отже, теперішня вартість річної ренти —

^.І^¹^.»

і (і +;•) " Величину ———: —— =д„;, називають коефіцієнтом зведення

ренти, або процентним фактором теперішньої вартості аннуїтету (РУІГА(і;п) — Ргсаеп(Уаіие Іпїегечі Расїог Липні/ієн)

А=К РУ]РА(і;п). (2.52')

Коефіцієнт о„;, залежить від ставки відсотків та числа членів

ренти і характеризує теперішню вартість ренти, члени якого дорівнюють Ігрн. Його значення знаходимо у спеціальних таблицях складних відсотків (додаток 13).

Приклад 4. Вкладник хоче протягом трьох років отримувати щорічний доход 1000 грн., депозитна ставка банку — 5%. Яка теперішня вартість цього аннуїтету?

Дано: А=1000 грн.; 1=5%; п=3;.А —?

За формулою (2.5 Г)

А'=1000 РУІРА(5%;3)=1000 2,7232=2723,25 грн.

Отже, майбутні платежі за 1000 грн. в рік оцінюються сьогодні 2723,25 грн.

Розпишемо докладно, як утворилася ця рента:

Початковий вклад (теперішня вартість) 2723,25 грн. 5% платежу за перший рік + 136.13 грн. Усього наприкінці першого року 2859,41 грн. Виплати за перший рік 1000.00 грн. Сума вкладу на початок другого року 1859,41 грн. 5% платежу за другий рік92.97 грн. Усього наприкінці другого року 952,38 грн. Виплати за другий рік 1000.00 грн. Сума вкладу на початок третього року 952,38 грн. 5% платежу за третій рік47.62 грн. Усього наприкінці третього року000,00 грн. Виплати за третій рік1000,00 грн.

Як і нарощена сума, теперішня вартість ренти залежить від умов (параметрів), які її описують. Формула (2.52) справедлива лише для річної ренти за умови, що відсотки теж нараховуються раз на рік. Якщо відсотки нараховуються на платежі т разів на

рік, то в формулу (2.52) замість виразу (1+і)~" слід поставити

,•. \ т п

\+ і.. Після такої заміни формула для теперішньої вартості

V '" І

ренти видозміниться:

/. \ т п

1 1^

•^• т^—

м¹

V ні} Помножимо і поділимо прану частину формули на (///«), тоді

/. \ іп п

і і'і^ч ^}

1 = 7; \ І")111

./( /у"

(¹^) ¹

Першиіі множник — цс коефіцієнт зведення ренти зі ставкою ]/т і терміном п, а другиіі — обернене значення коефіцієнта нарощення ренти з тією ж ставкою відсотків Отже, ,„.^ М 7/ Л ;т

т \ III)

Приклад 5. Страхові внески на 400 грн. вносяться раз на рік протягом 10 років. Відсотки за номінальною ставкою 12% нараховуються щоквартально. Визначити теперішню вартість майбутнього страхового фонду.

Дано: Д=400 грн.; л=10; от=4;/=12%; А —?

Обчислимо;

т п=10 4=40;]/т=0,12/4=0,03.

За формулою (2.53)

А=400 РУІРА(3%;40)/ГУІРА(3%;4)=400 23,115/4,1836=2210,06 грн.» «2210 грн.

Отже, зараз страховий фонд, який нагромадиться за 10 років, вартує 2210 грн.

Для/^ термінової ренти розглянемо три випадки, коли: /и=1;

б) т>\; т^р; в) /?;>!; т =р.

а) Коли відсотки на платежі, які надходять/? разів на рік, нараховуються лише один раз на рік (/»=!), то утворюється формула

^~⁰^^=/^?• (2.54) р \(1+і)Р 1 \)

Приклад б. В Індії на хімзаводі у Бхапалі сталася аварія. Власник підприємства корпорація "Юніоіг Карбайд" запропонувала компенсацію 200 млн дол. США, які сплачуватимугься протягом 35 років. Доведіть, що така компенсація у майбутньому еквівалентна теперішній сумі 57,5 млн дол., якщо планувалося вносити платежі щомісяця, ставка відсотків 10%.

Дано: Д=200/35=млн $5,714; /і=35; А —? За формулою (2.54) /=10%

.,. 1 (1+0,1) ³⁵ ^=5,714.——^ —— —^—— у =57,59 (мли $).

12.ІП+О.ПІ2 1ІОтже, компенсаційні виплати па даний момент часу становили би млн $ 57,59, тому посольство Індії відмовилося від цієї пропозиції, вважаючи цю суму недостатньою.

б) Коли відсотки нараховують т разів, але т^р, тоді

/. \ т п ^11+у

А=К. ^ '"{ (2.55)

/..[іну і

v "й

V/

в) Для ситуації, коли кількість платежів збігається з кількістю нарахувань відсотків (р=т), отримаємо формулу

"ж,,. ⁷ РУ^^т п}

Ш П;~ 1... І

А=к —— "1 =/?.——— ^——— ^}. (2.56) тт

Приклад 7. Фінансове зобов'язання передбачає виплати протягом 5 років за 10 тис грн. на рік та нарахування відсотків — 8% номінальних. Яка сума необхідна для того, щоб разом з нарахованими на неї відсотками забезпечити такі платежі? Розглянемо варіанти умов зобов'язання:

а) виплати проводяться раз наприкінці року, відсотки — за півріччя;

б) щоквартальна виплата і нарахування відсотків.

Дано: Л=10 тис грн.; п=5;}=К°о; а)р=1 т=2; б)р=т=4. А,—? А^—?

а) За формулою (2.55)

1 п+^^⁸) 1⁽⁾

А,=10000 ——————— = 10000РУІРА(4%;Ю)/РУІРА(4%;2)=

^0^2.^

=10000 8,110896/2,04=39759,29 (грн.") Для випадку б) використаємо формулу (2.56)

А^=10000 РУІГА(2%;20)/4=10000 16,35143/4=40878,58 (грн.)

Теперішня величина ренти, як і нарощена її сума, залежить від частоти платежів і нарахувань відсотків.

Якщо позначити теперішні вартості А(р;т), Л(1;Ї) — річна рента з нарахуваннями відсотків раз на рік, то для однакових інших параметрів отримаємо нерівності: А(1;т) < А(1;1) < А(р;т) < А(р;т) < А(р;т) < А(р;1) т>11<р<т р=¹т>1р>т>1 р>1.

Наприклад, при однаковій річній сумі платежів, рівних відсоткових ставках і збігу загального терміну ренти умови р=2;

т=4 дають меншу теперішню вартість, ніж /?=4; т=1.

Між нарощеною та теперішньою величинами рент існує взаємозв'язок. Теперішня величина ренти — цс оцінка аннуїтету на даний момент часу (для термінової ренти — до початку терміну). Нарощена сума — це узагальнений показник, який характеризує ренту на кінець її терміну.

Якщо А — теперішня вартість ренти на початок терміну;,5 — кінцева сума рентних платежів, то нарощення складних відсотків на суму А за п років повинно давати суму 5'

^(І.О"^.^{1 0}^"".^^"^.^^" ^^ / /

Отже, взаємозв'язок між величинами А та 5' можна виразити формулою

А (1+і)"=Я. (2.57)

Приклад 8. У прикладі 7 теперішня вартість ренти для випадку а) — 39759,29 грн. Яка нарощена сума ренти за тих же умов? Дано: К= 10 тис грн.; п=5; от=2;у=8%; Л=39759,29 грн. 5—? Замість / у формулу (2.57) підставимо у/от, а замість п — т п, тоді

5=39759,29•(1+⁰^⁸)¹⁰=39759,29•(1,04) =

=39759,29 РУІР(4%;10)=39759,29 1,480244=58853,45(грн.). Отже, ціна аннуїтету через 5 років — 58853,45 грн.

Дата добавления: 2015-07-02