Визначення параметрів фінансових рент

Вічна рента

Вічна рента — цс послідовність необмеженої кількості платежів, які сплачуються протягом нескінченного числа років. Прикладами такої ренти є виплата дивідендів за акціями, окремі види орендних платежів, внески у пенсійні фонди.

Згідно з визначенням вічної ренти, вона повинна була би мати нескінченно велику нарощену суму. На перший погляд здається, що незмістовною є теперішня вартість такої ренти. Проте це не так. У деяких ситуаціях при викупівлі, заміні деяких видів рент іншими теперішня вартість відіграє важливу роль.

Щоб вивести формулу для теперішньої вартості вічної ренти, розглянемо коефіцієнт зведення ренти о„;;.і о+о"" і

Оскільки Ііт я,,;, = Ііт ———:——— =,

И—>00 И»°01 '

звідси а^,., =. і

Отже, формула теперішньої вартості вічної ренти —

А^=^. (2.58) і

Теперішня вартість вічної ренти залежить лише від величини члена ренти та ставки відсотків. Звідси

К=Л^ і. (2.59)

Формула (2.59) використовується лри капіталізації постійних доходів, при цьому допускається, що доход у сумі К буде надходити нсвизначсно довго наприкінці кожного року, а ставка дорівнює /'.

Зміст теперішньої вартості вічної ренти можна пояснити так:

коефіцієнт а<»;і — цс сума дисконтованих платежів. Платежі

вноситимуться у досить далекому майбутньому, тому вони слабо впливають на значення коефіцієнта зведення обмеженої ренти

°л;і. Зі зростанням п значення "п.і буде постійно зменшуватись і

1 при п»оо а^.і =.

Приклад 9. Скільки конітус акція зі щорічним дивідендом 40 і'.о., якщо відсоткова ставка, за якою дисконтуються подібні акції, дорівнює 8%.

Дано: Л=40 грн.; і =%%. А —?

За формулою (2.58)

А=40/0, 08^500 грн.

Вартість даної акції — 500 грн.

В умовах контрактів, як правило, задаються основні параметри рент (К; п; і; р; пі). За допомогою цих параметрів обчислюють узагальнюючі показники — нарощену та теперішнювеличини ренти. Проте іноді при розробці умов контрактів виникають ситуації, коли заданими є одна з двох узагальнюючих характеристик (А або 5) і неповний набір параметрів ренти. Тоді необхідно визначити невідомий параметр.

Щоб визначити член ренти (К), використовують значення нарощеної суми 5 або теперішньої суми А, ставку відсотків і число членів ренти. Тут можливі два варіанти залежно від того, яка сума задана — 5 чи А'ї

Якщо сума боргу визначена на якийсь момент у майбутньому (тобто задана 5), тоді на основі формул, що визначають нарощену суму 5", легко знайти член ренти К. Так, для річної ренти (з формули (2.46))

~~^,~ РУП Л (і •.її)' ⁽ ' ⁾

Якщо поточний борг погашається послідовними платежами, сума боргу дорівнює теперішній вартості ренти (борг на данин момент часу). Тоді з формули (2.52')

~~а^~ РУІРА (/•;/;)"^•^б1^

Приклад 10. Визначити розмір рівних внесків наприкінці року для таких двох ситуацій, у кожній з яких передбачене нарахування на внески річних відсотків за ставкою 8%:

а) створити через 5 років фонд в 1 мли грн.;

б) погасити поточну заборгованість, яка дорівнює 1 мли грн. Дано: /'=8%; м=5; а) 8^=\ мли грн.; б) А^=\ млн грн. /;/—? К^—? У випадку а) скористаємося формулою (2.60)

К=5]/трА(89с;5)=10(ЮООО/5,8666096=170456,2(грн.). У випадку (б) використаємо для розв'язання формулу (2.61)

К=А^РУІРА(8%;5)=1000000/3,99271=250456,46 (грн.). Як бачимо, в обох випадках розміри члена ренти істотно різняться.

З формул нарощеної або теперішньої вартості ренти можна визначити і термін ренти. Алгебраїчне вивільнивши п з формул (2.45) або (2.52), отримаємо:

Ш^./.ІІ

п=^[———^}•, (2.62) 1и(/+і)

"{• г)

"⁼4(7^ •С ⁶³»

За допомогою формул (2.62) та (2.63) можна обчислити термін річної звичайної ренти. Для інших видів рент аналогічно можна визначити параметр п, скориставшися відповідними формулами нарощеної або теперішньої суми ренти.

При цьому слід враховувати такі особливості:

1) розраховані значення термінів ренти, як правило, будуть дробові. У цих випадках за значення п для річних рент приймають менше ціле число. Якщо рента ^ термінова, то заокруглюють до ближчого меншого числа число періодів, добуток (п р). Наприклад, якщо для квартальної ренти отримане розрахункове значення л=6,28, то и /?=25,12. Ця величина заокруглюється до 25 періодів, звідси д=6,25; (25/4=6,25).

2) оскільки розраховане число років (або періодів) заокруглюється до меншого значення, то нарощені суми і теперішні величини відповідних потоків платежів стають меншими від заданих. Якщо цс можна припустити, то різниця між заданою і отриманою за заокругленим числом п узагальнюючими характеристиками повинна бути компенсована. Наприклад, якщо йдеться про погашення боргу за допомогою виплати постійної ренти, то компенсацію можна зробити відповідним внеском на початку ренти або підвищенням величини члена ренти.

Приклад 11. Сума інвестицій, здійснених за рахунок залучених коштів, дорівнює 10 мли грн. Планується, що віддача від них становитиме 1 мли грн. щорічно (наприкінці кожного року). За який термін окупляться інвестиції, якщо на борг нараховуються відсотки за ставкою 6% річних?

Дано: Л=10 мли грн.;;'=6%=0,0б; Д=1 мли грн. п —? Згідно з умовою задачі, для розв'язування слід використати формулу (2.63)

ІпГі ^ ҐІпГі——^ Ґ

„, ^^кЛ^{\ 0}^. 15.72 (року). 1п(,+і) 1п(1,06)

Заокругливши результат, маємо п=\5. У цьому випадку теперішня вартість ренти дорівнюватиме

А'=К РУІРА(6%;15)=10000009,712249=9712249 (грн.).

Різниця А А "=287751 грн. повинна бути виплачена на початку річного платежу. Її розрахунок —

К=10/РУІРА(6%;15)=1,0296286 (мли грн.). Задача визначення відсоткової ставки досить складна математично, і для її розв'язання можна скористатися викладками у [38]. Там же розглянуто інші види рент та розрахунки їх узагальнюючих величин і параметрів.

Дата добавления: 2015-07-02