Определение. Условие суммируемости по в точке x отношения при каком-нибудь значении называется условием Дини для функции f в точке x

Теорема. Если для суммируемой на интервале функции сходится интеграл, то частные суммы ряда Фурье этой функции в точке сходятся к значению.

Тригонометрические ряды Фурье.

Из курса математического анализа известно, что комплекснозначные функции ортогональны в :

при , а при .

Функции периодически продолжаются на всю вещественную ось с сохранением аналитичности (целые функции) и удовлетворяют простым функциональным уравнениям:

Коэффициенты Фурье определяются этим равенством для функций из , но интеграл справа существует для любой функции , а пространство шире пространства .

Любой функции можно поставить в соответствие ряд Фурье .

Оно выполняется, например, если функция удовлетворяет в точке x условию Гёльдера порядка (, при – условие Липшица).

Доказательство теоремы. Рассмотрим частичные суммы тригонометрического ряда Фурье

.

Здесь под интегралом сумма членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем :

;

– ядро Дирихле; .

Если положить здесь , то , так как в этом случае коэффициенты Фурье . Отсюда . Поэтому

Лемма. Если , то интегралы и стремятся к нулю при .

Дата добавления: 2015-07-02