Разложение в ряд Фурье функции, заданной на произвольном промежутке

Разложение четных и нечетных функций

Если - четная функция, то в разложении (1) будут отсутствовать нечетные слагаемые, т.е. причем можно вычислять по формулам:

(6)

(7) .

Как видим, интегрирование производится только по положительным .

Приведем пример разложения четной функции:

Если - нечетная, то в разложении (1) будут отсутствовать четные слагаемые, т.е. все , причем можно вычислять по формулам

. (8)

Пусть, например,

.

Эта функция нечетная, поэтому все . Ниже приводится разложение этой функции в ряд по синусам, полученное с помощью пакета Mathcad:

Пусть на отрезке задана кусочно-монотонная ограниченная функция . Рассмотрим периодическое продолжение этой функции на всю числовую прямую. Период этой функции равен . Обозначим этот период через , т.е. . Тогда для полученной функции также справедливо разложение (1), а коэффициенты разложения вычисляются по формулам:

(9)

(10)

(11)

.

Отличие формул (9)-(11) от (2)-(4) только в том, что интегрирование ведется по промежутку , а не .

Пример. . Продолжим эту функцию периодически на всю числовую прямую с периодом .

Можно было воспользоваться и формулами (2)-(4), считая, что

.

Однако при этом наши выкладки при подсчете коэффициентов Фурье усложнились бы из-за того, что по разному задается при положительных и отрицательных . Гораздо удобнее воспользоваться формулами (9)-(11):

Дата добавления: 2015-07-02