Разложение функций с помощью четного и нечетного продолжений

Пусть задана на отрезке . Если эту функцию сначала продолжить четным образом на промежуток , а затем периодически на всю числовую прямую, то мы получим четную периодическую функцию, а значит, в ее разложении будут отсутствовать все , а можно вычислять по формулам (6), (7).

Пусть, например, нужно разложить в ряд Фурье функцию .

Продолжим ее четным образом на промежуток , а затем периодически на всю числовую прямую:

Поскольку полученная функция является четной, то коэффициенты а , можно вычислять по формулам (6), (7):

Разложим теперь эту же функцию после предварительного нечетного продолжения на промежуток . Приведем график периодически продолженной функции:

Воспользовавшись формулой (8) для подсчета , получим:

Заметим, что после нечетного продолжения становится точкой разрыва. Кроме того, при периодическом продолжении точками разрыва будут . По этой причине разложение нашей функции после нечетного продолжения будет сходиться медленнее, чем после четного из-за появления точек разрыва. Сравнивая два последних рисунка, видим, что в случае четного продолжения разложение по 5 гармоникам точнее, чем разложение по 10 гармоникам в случае нечетного продолжения.

Отметим, что при практическом разложении сигналов в ряды Фурье, как правило, требуется найти очень большое число коэффициентов ряда, что связано с вычислением интегралов. Поскольку в явном виде они обычно не находятся, то приходится использовать численные методы, требующие больших вычислительных затрат. До относительно недавнего времени это обстоятельство сильно ограничивало возможности практического применения разложения в ряды Фурье. Прорыв в этом направлении связан с разработкой алгоритма быстрых преобразований Фурье, позволяющий многократно уменьшать вычислительные затраты. Этот алгоритм реализован в пакете Mathcad и студенты могут познакомиться с соответствующей процедурой в книге [1].

Задачи для расчетно – графического задания

Во всех задачах параметры и принять равными соответственно, где предпоследняя и последняя цифры номера зачетной книжки.

Разложить в ряд Фурье функцию:

1. + .

2.

3.

4.

5.

воспользовавшись

а) нечётным продолжением;

в) чётным продолжением;

6.

7. Во всех задачах с помощью пакета Mathcad построить графики исходной функции и отрезка полученного ряда Фурье при В каких точках качество приближения функции отрезком ряда Фурье хорошее, а в каких нет? Объясните почему?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Письменный Д. Т.

Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис-Пресс.- 2008. – 252 с.- Ч. 2.

2. Пискунов Н. С.

Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов / Н. С. Пискунов. - изд. стер.. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 544 с.: ил. Т.2.

3. Берман Г. Н.

Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г. Н. Берман. - 22-е изд., перераб. - СПб.: Профессия, 2006 - 432 с.

4. Лунгу К.Н.

Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие / К.Н.Лунгу и др.- 7-е изд..- М.: Айрис Пресс, 2008.- 590 с.

5. Данко П. Е.

Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС.- 2008.- 41 с.- Ч.2.

Дата добавления: 2015-07-02