Введение. Логика – это набор правил для рассуждений и доказательств

ЗАНЯТИЕ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Логика – это набор правил для рассуждений и доказательств. Логика возникла тогда, когда развитие специальных наук и человеческого мышления поставило вопрос о том, как надо рассуждать, чтобы получить правильные выводы. Основателем классической логики является греческий ученый Аристотель, живший с 384 по 322 г. до н. э. Логические исследования Аристотеля изложены в двух его трудах «Первая аналитика» и «Вторая аналитика», объединенных под общим названием «Органом» (Орудие познания). Аристотель сформировал основное правило логики: является ли заключительное утверждение истинным при условии истинности приведенных фактов единственно в силу формальной структуры рассуждений, а, не исходя из смысла утверждений и фактов.

Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) – это раздел математики, посвященный изучению математических доказательств, иначе – это логика, развиваемая математическими методами.

Идея построения универсального языка для всей математики и формализация на базе этого языка математических доказательств выдвигалась еще в 17 веке

Г. Лейбницем (1646-1716). Г. Лейбниц впервые ввел в логику математические символы и некоторые математические правила. Это позволило заменить некоторые выводы вычислениями. Однако идеи этого ученого значительно опережали время.

Идеи Г. Лейбница по алгебратизации аристотелевской логики получили развитие спустя почти два столетия в работах английского математика Дж. Буля (1815-1864) и О.де Моргана (1806-1871). Очень важным этапом в развитии математической логики является изобретение в 1879 г. немецким математиком Готтлобом Фреге. (1848-1925) исчисления предикатов.

Основные принципы исчисления предикатов Г. Фреге принял на веру: он считал, что предложенная им система действительно обеспечивает формальное доказательство каждого записанного на этом языке логически верного предложения, то есть, истинного при всех возможных интерпретациях, и чтобы это доказательство систематически строилось по заданному предложению.

Обоснование теории исчисления предикатов, принятой Г. Фреге на веру, было дано в 30 годы 20 века. Это сделали независимо друг от друга французский алгебраист и логик Жак Эрбран, норвежец Торальф Скулем и австрийский математик К. Гедель. Работы этих ученых позволили создать новое направление на стыке математической логики и программирования – логическое программирование. Логическое программирование явилось теоретической основой для построения специального языка Пролог, который был создан в Марселе в 1971 году. Создателями этого языка считают европейских ученых А. Колмероэ и Р. Ковальского.

Расцвет математической логики как самостоятельной науки пришелся на 20-годы 20 века и связан с именами великих математиков: Я. Лукашевича (1878-1956),

К. Геделя (1906-1978), А. Тарского (1901-1983), А. Черча (1903-1995), С.К.Клини (1909-1994), Д. Гильберта (1862-1943), Г. Фреге (1848-1925), А. Тьюринга (1912-1980), А. Маркова (1903-1979).

Принципиальное (теоретическое) значение математической логики состоит в обосновании математики, то есть, в анализе ее основ.

Прикладное значение математической логики в настоящее время очень велико. Математическая логика применяется для следующих целей:

- анализа и синтеза цифровых вычислительных машин и других дискретных автоматов, в том числе и интеллектуальных систем;

- анализа и синтеза формальных и машинных языков, для анализа естественного языка;

- анализа и формализации интуитивного понятия вычислимости;

- выяснения существования механических процедур для решения задач определенного типа;

- анализа проблем сложности вычислений.

Математическая логика тесно связана с лингвистикой, экономикой, психологией и философией.

Дата добавления: 2015-06-27