Дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки (сферического движения)

Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную точку , действуют заданные внешние силы и реакция связи (рис. 37).

Рис. 37

Чтобы исключить из уравнений движения неизвестную реакцию , воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента относительно центра , представив ее в виде (8.4), т.е. в виде теоремы Резаля. Тогда, поскольку , уравнение (8.4) даст

(8.5)

где , а - скорость по отношению к инерциальной системе отсчета точки , совпадающей с концом вектора .

Движение тела изучается тоже по отношению к инерциальной системе отсчета . Но чтобы получить уравнения этого движения в наиболее простой форме проецируем обе части предыдущего равенства на жестко связанные с телом и движущиеся вместе с ним оси , являющиеся главными осями инерции тела для точки .

Тогда выражения проекций вектора будут иметь простой вид , а входящие в них моменты инерции , будут величинами постоянными.

Для вычисления абсолютной скорости на подвижные оси представим как сумму относительной (по отношению к осям ) скорости и переносной скорости . Тогда из уравнения (8.5)

и .

(8.6)

Обозначим координаты точки через . При этом, так как радиусом – вектором точки является вектор , то .

Как указано в кинематике, при определении движение осей во внимание не принимается, следовательно , а при определении точку можно рассматривать как принадлежащую телу, связанному с осями . Но это тело движется вокруг неподвижной точки .

По аналогии с формулой Эйлера из кинематики , имеем

Заменяя в найденных выражениях и величины , , их значениями и подставляя эти значения , во второе из равенств (8.6), получим

Аналогичные выражения получаются для проекций первого из равенств (8.6) на оси и .

Так как для связанных с телом осей величины постоянны, то окончательно найдем следующие дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки в проекциях на главные оси инерции тела для этой точки:

(8.7)

Уравнения (8.7) называются динамическими уравнениями Эйлера.

Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела.

Как известно, движение свободного твердого тела слагается из поступательного движения вместе с полюсом, в качестве которого при решении задач динамики выбирают обычно центр масс тела, и из движения вокруг центра масс, как вокруг неподвижной точки. Если на тело действуют внешние силы , то движение полюса описывается теоремой о движении центра масс , где - масса тела.

В проекциях на неподвижные оси это равенство дает:

(8.8)

где - координаты центра масс тела.

Для движения же вокруг центра масс теорема об изменении кинетического момента дает в проекциях на главные центральные оси инерции тела три уравнения, совпадающие по виду с уравнениями (8.7). Таким образом, система дифференциальных уравнений (8.7), (8.8) описывает движение свободного твердого тела.

Дата добавления: 2015-06-27