Упражнения. 1. Покажите, что любое однопараметрическое экспонентное семейство распределений действительной случайной величины с плотностью

1. Покажите, что любое однопараметрическое экспонентное семейство распределений действительной случайной величины с плотностью , где и - неубывающие функции, имеет монотонное отношение правдоподобия.

2. (Фергюсон [6]). Пусть , , а функция потерь имеет вид (c ):

Θ
			L
	L

:

Наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение со средним и единичной дисперсией.

а. Покажите, что в этой статистической игре монотонные решающие правила составляют существенно полный класс; определите вид байесовских правил.

б. Покажите, что игра инвариантна относительно конечной группы преобразований (какой?); определите вид инвариантных монотонных правил и функцию риска.

в. Найдите минимаксные решающие правила и значения игры при и . Найдите соответствующие наименее благоприятные априорные распределения.

3. Решите задачу упр. 2, когда наблюдаемая случайная величина имеет логистическое распределение с плотностью

.

Найдите минимаксные решающие правила и значение игры при и .

4. Пусть , , а функция потерь имеет вид:

Θ
	L

:

Наблюдается случайная величина . Найдите минимаксное решающее правило, учитывая монотонность статистической игры и используя принцип инвариантности.

Ответ: при , при , при , при , где значение определяется из уравнения

5. (Закс [5]). Пусть , , функция потерь имеет вид:

и наблюдается случайная величина . Используя монотонность, найдите минимаксное решающее правило и значение игры. Воспользуйтесь принципом инвариантности.

литература

Дата добавления: 2015-06-27