Деление отрезка в данном отношении

Расстояние между двумя точками

Требуется найти расстояние d между точками А(х₁; у₁) и В(х2;у₂) плоскости Оху.

Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора = (х₂ – х₁;у₂ –у₁), т.е.

Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки A(x₁;y₁) и В(х₂;у₂) в заданном отношении λ > 0, т.е. найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что (см. рис. 26).

Рис. 26.

Решение: Введем в рассмотрение векторы и . Точка М делит отрезок АВ в отношении λ, если

= λ· . (9.1)

Но = (x – x₁;y – y₁), т.е. = (х - х₁) + (у-у₁) и = (x₂-x;y₂-y), т. е. = (х₂ — х) + (у₂ — y) . Уравнение (9.1) принимает вид

(х – x₁) + (у – y₁) = λ (х₂ - х) + (у₂ - у) .

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем

Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при λ = 1, т. е. если AM = MB, то они примут вид . В этом случае точка М(х;у) является серединой отрезка АВ.

Замечание: Если λ = 0, то это означает, что точки А и М совпадают, если λ < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ — говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом (λ ≠ - 1, т. к. в противном случае , т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

Дата добавления: 2015-06-28