Особливості розрахунку кіл змінного струму 1 страница

Змінними називаються ЕРС, напруги і струми, які періодично змінюються в часі.

В сучасному електроустаткуванні найбільше застосування отримали змінні струми, величина (і напрямок) яких змінюються за синусоїдальним законом – синусоїдальні струми.

Значення змінних величин (ЕРС, напруг, струмів, потужностей) в будь-який момент часу називаються миттєвими і позначаються буквами е, u, i, p.

Для синусоїдальних струмів миттєве значення визначається виразом i = I _m sin (w t + y), де I _m – найбільше миттєве значення періодично змінюваних величин, що називається амплітудним значенням. Аналогічно визначаються і напруги та ЕРС.

Час Т, за який струм (напруга, ЕРС) здійснює повний цикл своїх змін називають періодом змінного струму (напруги, ЕРС), а число періодів за секунду – його циклічною частотоюf = 1/ T. Одиниця частоти – Гц. Частота дорівнює 1 Гц, якщо повний цикл зміни струму здійснюється за 1 секунду.

Синусоїдальний характер змінного струму зумовлений характером змінної ЕРС, що утворюється в статорі генератора. Ротор обертається з кутовою швидкістю w = a / t. Якщо покласти a = 2p (повний оберт), а це буде за час t = Т, за який струм здійснить повний цикл своїх змін,то w = 2p / Т = 2p f. Ця величина (w) називається круговою частотою.

Від спостерігача залежить з якого моменту почати спостереження за зміною струму. Тому у виразі i= I _m sin (w t + y) присутня величина y, що називається початковою фазою, і яка визначає відставання моменту початку спостереження від початку поточного періоду[5]. Якщо y = 0, то i = I _m sinw t.

Між двома синусоїдальними величинами, що мають різні y ₁ і y ₂, існує зсув фазj = y ₂ – y ₁. Ця величина більш цікава, оскільки при дослідженні двох синусоїдальних величин завжди початкову фазу однієї можна взяти нульовою, тоді початкова фаза іншої становитиме j і вже не залежатиме від суб’єктивного вибору початку спостереження.

Діюче значення змінного струму дорівнює значенню еквівалентного постійного струму, який утворює на незмінному опорі стільки ж теплоти, як і змінний струм.

Діюче значення змінного синусоїдального струму менше його амплітудного значення в раз. Таке ж співвідношення між діючими і амплітудними значеннями для напруг і ЕРС. Діючі значення позначаються I, U, E.

Отже для аналізу синусоїдального струму необхідно знати: амплітудне (І _m, U _m, E _m) або діюче (І, U, E) значення; частоту коливань (w, f або Т: w = 2p f, f = 1/ T) і початкову фазу y.

Для розрахунків кіл змінного струму використовується зображення синусоїдальних величин за допомогою векторів, що обертаються.

Нехай маємо струм i = I _m sin(w t + y).

Для того, щоб зобразити його вектором, що обертається візьмемо прямокутну систему координат хОу. Із початку координат О під кутом y проведемо вектор , довжина якого в масштабі відповідає I _m. Якщо вектор обертати проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю w = 2p f, то його проекція на вісь ординат Оу буде змінюватись за синусоїдальним законом, тобто відображати миттєве значення струму і.

Сукупність векторів, що зображують на одному кресленні кілька синусоїдальних величин однієї частоти має назву векторна діаграма.

Вектори, що зображені на такій діаграмі мають однакову кутову частоту w. Тому при обертанні їх взаємне розміщення не змінюється. Отже при побудові векторних діаграм один вектор можна направити довільно (наприклад, вздовж Ох), а інші розташовувати по відношенню до першого під різними кутами, що дорівнюють відповідним кутам зсуву фаз, і осі координат не креслити.

В більшості випадків векторні діаграми кіл змінного струму призначені для визначення співвідношень між діючими значеннями напруг і струмів. Тому діаграми звичайно будують не для амплітудних значень, а для діючих, що зумовлює лише зменшення довжини векторів в разів.

Таким чином вже можна передбачити, що при розрахунках кіл змінного струму треба буде використовувати складні перетворення з величинами, до яких входять тригонометричні функції, або виконувати графічні дії над векторами.

Ефективним методом розрахунку кіл змінного струму є символічний метод, оснований на зображенні електричних величин (струм, напруга, ЕРС, опори, провідності, потужності) комплексними числами. В цьому випадку для розрахунку кіл змінного струму можна використовувати закони Кірхгофа і всі методи розрахунку складних кіл постійного струму.

Форми запису комплексних чисел:

q В алгебраїчній формі комплексне число Z є сума дійсного числа a і уявного числа jb, тобто Z = a + jb. Уявне число jb є добуток уявної одиниці і коефіцієнта при ній b.

q Для зображення комплексного числа в графічній формі в прямокутній системі координат по горизонтальній осі відкладаються дійсні частини комплексного числа а, а по вертикальній осі – уявні частини jb. Комплексне число на такій комплексній площині зображується:

¨ точкою з координатами А (a; jb);

¨ вектором ОА, що починається в початку координат О, а закінчується в точці А з координатами (a; jb).

q Щоб записати комплексне число в показовій формі треба знати його модуль і аргумент. Модуль є довжина вектора ОА на комплексній площині: . Аргумент – це кут a між додатним напрямком дійсної осі і вектором ОА. Ясно, що b/a = tg a, звідки a = arctg b/a.

а	b	чверть	a =
+	+	І	arctg b/a
–	+	ІІ	180° – arctg b/a
–	–	ІІІ	180° + arctg b/a
+	–	IV	– arctg b/a

При визначенні a треба мати на увазі, що обчислювальні засоби дають значення arctg b/a в межах 0°£ a£ 90°. Тому отримане значення треба відкоригувати згідно таблиці:

Комплексне число в показовій формі є добуток модуля і множника е ^ja, тобто Z = |Z|× е ^ja.

q Тригонометрична форма. При розрахунках із використанням комплексних чисел виникає потреба перейти від показової форми до алгебраїчної. Вихідними є модуль і аргумент. Необхідно визначити дійсну та уявну частини і представити число в алгебраїчній формі.

З трикутника a = |Z|× cos a, b =|Z|× sin a.

В комплексній формі Z = a + jb = |Z|× cos a + j|Z|× sin a

Отриманий запис є тригонометричною формою комплексного числа.

Для додавання або віднімання двох комплексних величин зручніше використовувати алгебраїчну форму:

Z ₁ ± Z ₂ = a ₁ + jb ₁ ± a ₂ + jb ₂ = (a ₁± a ₂) + j (b ₁ ± b ₂).

Для множення і ділення – зручніше використовувати показову форму:

Z ₁ ´ Z ₂ = | Z ₁ | e ^ja ´ | Z ₂| e ^jb = | Z ₁ | ´| Z ₂| e ^{j(a + b)};

Z ₁ / Z ₂ = | Z ₁ | e ^ja / | Z ₂| e ^jb = | Z ₁ | / | Z ₂| e ^{j(a – b)},

але можна і алгебраїчну:

Z ₁ ´ Z ₂ = (a ₁ a ₂ – b ₁ b ₂) + j (a ₁ b ₂ + b ₁ a ₂); .

Два комплексних числа називаються спряженими, якщо відрізняються тільки знаками уявної частини (в алгебраїчній формі), або знаками аргументів (в показовій формі), наприклад:

a + jb та a – jb;

| Z| e ^ja та | Z| e ^–ja .

Повертаючись до електричних величин можна провести аналогію між векторами, що обертаються і комплексними векторами, якщо перші будувати на комплексній площині. Ця аналогія дозволяє синусоїдальні величини відображувати комплексними числами. Комплексні значення струмів, напруг і ЕРС прийнято позначати .

Побудуємо для кіл з активним опором, індуктивністю і ємкістю векторні діаграми, але вже на комплексній площині, вважаючи, що розташування вектора величини з нульовою початковою фазою співпадає з дійсною додатною піввіссю.

В усіх випадках вектор напруги направлений по осі дійсних чисел. Тому комплекс напруги , де U – модуль комплексу напруги, а 0° – його початкова фаза. Комплекс струму:

у першому випадку –

у другому випадку –

у третьому випадку –

Отже комплексне зображення синусоїдальних величин визначає її діюче (або амплітудне) значення і зсув фаз відносно вихідної величини, початкова фаза якої вважається рівною нулю.

При розрахунку кіл синусоїдального змінного струму використовуються закони Кірхгофа, що справедливі для миттєвих, амплітудних та діючих значень:

для миттєвих значень – суми алгебраїчні.

Ці рівняння справедливі у векторній формі, тобто суми не алгебраїчні, а геометричні.

Суми алгебраїчні завдяки зображенню електричних величин комплексними числами.  

Розглянемо кола:

В обох випадках вектор струму направлений по осі дійсних чисел. Комплекс напруги на клемах кола:

для випадку а) , де U _a і jU _L – дійсна і уявна частини; U і j — модуль і початкова фаза комплексу напруги.

для випадку б) .

В загальному виразі комплексу напруги “+” перед уявною частиною свідчить, що навантаження має індуктивний характер, “–“ — характер навантаження ємнісний.

Розглянемо електричне коло, що складається з трьох елементів:

, де

, а аргумент .

j > 0, якщо U _L > U _C

j < 0, якщо U _L < U _C.

Розрізняють повний опір Z, реактивний опір X і активний опір R, а також відповідні їм провідності: повна провідність – y = 1 / Z, реактивна провідність – b = X / Z ² і активна провідність – g = R / Z ².

З розглянутих трикутників напруг (наприклад, а) і б)) = .

Це відношення є законом Ома. – повний опір кола і позначається Z. . Тобто I = U / Z.

Активний, реактивний і повний опір пов’язані між собою як сторони трикутника.

Ці трикутники також можна побудувати на комплексній площині і тоді опори виражатимуться комплексними числами:

= R + jX = R + j (X _L – X _C),

де .

Аналогічно визначаються провідності: .

При записі повної провідності в показовій формі:

модуль комплексу опору – ; аргумент – .

Якщо сторони трикутника напруг помножити на струм І, то отримаємо трикутник потужностей:

Активна потужність – P = U _a ×I = UI × cos j [вт];

Реактивна потужність – Q = U _Х ×I = UI× sіn j [вар];

Повна потужність – S = U×I [в × а].

Формули законів Ома і Кірхгофа для кіл змінного струму в комплексній формі мають таку ж структуру, як і для кіл постійного струму. Тому методи розрахунку лінійних кіл постійного струму, що були вже розглянуті (метод безпосереднього використання законів Кірхгофа, метод суперпозиції, метод контурних струмів, метод вузлових потенціалів, метод еквівалентного генератора), можна застосовувати для розрахунку складних лінійних кіл синусоїдального змінного струму. В цьому випадку всі ЕРС, напруги, струми, опори і провідності ділянок кола визначаються так же, як і в колах постійного струму, але в комплексній формі.

2. Аналіз електричного стану трифазного кола.

ЕРС, що утворюються в трьохфазному генераторі будуть однакові за амплітудним значенням і частоті, але зсунуті за фазою відносно одна одної на 1/3 періоду. Виводи початків обмоток трифазного генератора прийнято позначати буквами А, В, С. Маркіровка виводів виконується з таким розрахунком, щоб індуковані в обмотках ЕРС ` E <sub>A</sub>, ` E _B, ` E <sub>C</sub> відставали на третину періоду ` E _B від ` E <sub>A</sub>, ` E _C від` E _B.

Беручи за початок відліку момент часу, коли ЕРС е _А в обмотці А дорівнює нулю і змінює свої значення з від’ємних на додатні, можна записати такі вирази:

е _А = Е _m sinw t;

е _B = Е _m sin (w t – 120°);

е _C = Е _m sin (w t – 240°) = Е _m sin (w t + 120°).

Графіки цих ЕРС мають вид:

При символічній формі запису, якщо ЕРС фази А дорівнює , то ЕРС фаз В і С відповідно складають:

Векторна діаграма для амплітудних значень ЕРС буде уявляти собою симетричну трипроменеву зірку. Для такої системи справедливе співвідношення . Таке ж співвідношення справедливе і для діючих значень .

Дійсно, з діаграми видно, що геометрична сума трьох векторів, рівних за величиною і зсунутих за фазою на третину періоду (120°) дорівнює нулю. Сума миттєвих значень ЕРС трифазного генератора в будь–який момент часу також дорівнює нулю е _А + е _В + е _С = 0.

Якщо об’єднати кінці обмоток генератора в спільну точку О, а кінцеві зажими навантажень в спільну точку О¢, то для з’єднання генератора і трьох навантажень потрібно буде чотири проводи.

Точки О, О’ називають відповідно нульовою (або нейтральною) точкою генератора і нульовою (нейтральною) точкою навантаження.

Проводи А–А, В–В, С–С називають лінійними, а провод О–О’ – нульовим або нейтральним. Отримана схема має назву чотирипроводна система трифазного струму, або з’єднання зіркою з нульовим проводом.

Напруга між лінійним проводом і нульовим має назву фазна напруга і позначається U _A, U _B, U _C.

Напруга між лінійними проводами називається лінійною напругою і позначається U _AВ, U _BС, U _СА.

До навантажень Z _A, Z _B, Z _C прикладені фазні напруги.

В трифазних колах розрізняють лінійні І _л і фазні І _Ф струми.

Лінійними називають струми І _А, І _В, І _С, щопротікають по лінійних проводах.

Струми, що протікають по обмотках генератора, або по опорах навантаження називають фазними.

При з’єднанні зіркою лінійний струм рівний фазному І _л = І _Ф.

Струм, що протікає по нульовому проводі, позначають І _N.

Для чотирипроводної системи:

Застосувавши до нульової точки О’ перший закон Кірхгофа і прийнявши позначені на схемі додатні напрямки струмів отримаємо:

або

тобто струм в нульовому проводі визначається сумуванням лінійних струмів в комплексній формі, або геометричним сумуванням векторів ` І <sub>А</sub>, ` І _В, ` І _С.

На малюнку стрілками показані додатні напрямки фазних напруг на опорах навантаження. Миттєва напруга, наприклад напруга u _AB, між лінійними проводами А і В дорівнює алгебраїчній сумі миттєвих напруг на дільниці кола між точками А і В: u _AB = u _A + (– u _B)

В цьому виразі напругу u _B взято із знаком “–“ оскільки напрям дії цієї напруги протилежний прийнятому напряму обходу кола від точки А до точки В.

Теж саме в діючих значеннях:

.

Аналогічно для лінійних напруг: і :

Векторна діаграма напруг буде мати вид:

З діаграми видно, що всі три лінійні напруги рівні між собою за величиною і зсунуті по фазі відносно одна одної на 120°.

З трикутника OMN маємо:

OM = 2×OD = 2×ON×cos 30° = ×ON.

Оскільки ОМ = U _AB = U _л; ON = U _A = U _Ф, то U _л = × U _Ф, тобто лінійна напруга при з’єднанні зіркою в разів більша за фазну.

В трифазних установках навантаження окремих фаз прагнуть зробити більш-менш однаковим. При цьому струм в нульовому проводі виявляється меншим кожного з лінійних струмів. Виходячи з цього перетин нульового проводу приймають рівним приблизно половині перетину лінійного проводу.

Потужність трифазного кола при з’єднанні зіркою. Активні і реактивні потужності в кожній з фаз трифазної системи можна знайти за формулами:

P _A = U _A I _Acos j _A P _B = U _B I _Bcos j _B P _C = U _C I _Ccos j _C

Q _A = U _A I _Asin j _A Q _B = U _B I _Bsin j _B Q _C = U _C I _Csin j _C

Загальна потужність трифазної системи (активна і реактивна) визначається сумою потужностей окремих фаз: P = P _A + P _B + P _C; Q = Q _A + Q _B + Q _C.

При симетричному навантаженні: P _A = P _B = P _C = P _ф; Q _A = Q _B = Q _C = Q _ф; j _A = j _B = j _C = j. Тоді:

P = 3× P _ф = 3× U _ф I _фcos j; Q = 3× Q _ф = 3× U _ф I _фsin j; S = 3× U _ф I _ф.

Ці формули визначають потужність трифазної системи через фазні струми і напруги.

Іноді буває зручніше вираховувати потужність через лінійні величини струмів і напруг. Враховуючи, що при з’єднанні зіркою І _л = І _Ф і U _л = × U _Ф, отримаємо

P = × U _л I _лcos j

Q = × U _л I _лsin j

S = × U _л I _л

Трипровідна система. При симетричному (рівномірному) навантаженні фаз, тобто, коли опори навантажень однакові Z _A = Z _B = Z _C вектори струмів в усіх фазах рівні за величиною і зсунуті відносно своїх напруг на один і той же кут j.

Дата добавления: 2015-06-28