Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат.

Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид: h = z; x =rcosq; y= rsinq; cosq = ; sinq = .

В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:

Уравнение линии на плоскости.

Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой-либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.

Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Уравнение прямой на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

Определение. Каждый ненулевой вектор (a₁, a₂), компоненты которого удовлетворяют условию Аa₁ + Вa₂ = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

Пример 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Пример 2. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1×A + (-1)×B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x_2, y₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: , если х₁ ¹ х₂ и х = х₁, еслих₁ = х₂.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Тогда получаем уравнение прямой проходящей через точку в данном напрпвлении

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Пусть - ненулевой вектор, перпендикулярный данному вектору , тогда по свойству перпендикулярных векторов имеем:

Полярное уравнение прямой.

Пусть ось l проходит через полюс О и . Тогда для любой точки М(r; j) на прямой имеем: пр_lOM=p. С другой стороны, пр_lOM=½OM½cos(a - j)=r cos(j - a). Þ,

r cos(j - a) = p.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах +Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosj + ysinj - p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример 1. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой: ;

cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример 2. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см².

Уравнение прямой имеет вид: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Уравнение прямой имеет вид: , где х₁ = у₁ = 0; x₂ = -2; y₂ = -3.

Основные задачи.

Расстояние между двумя точками:

Деление отрезка в данном отношении.

Теорема. Если требуется разделить отрезок АВ (А(х₁, у₁), В(х₂, у₂)) в заданном отношении l>0, то координаты точки деления будут определяться следующим образом: .

Доказательство:

Введем в рассмотрение векторы АМ и МВ. Точка М делит отрезок АВ в отношении l, если АМ=l×МВ

Но АМ=(х – х₁; у – у₁)=(х – х₁)i+(y – y₁)j и МВ=(х₂ – х; у₂ – у)=(x₂ – x)i+(y₂ – y)j, т.е. (х – х₁)i+(y – y₁)j=l((x₂ – x)i+(y₂ – y)j). Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем:

х – х₁=lx₂ –lx Þ и y – y₁= ly₂ – ly Þ

Площадь треугольника.

Теорема. Если существует треугольник с вершинами А(х₁; у₁), В(х₂; у₂) и С(х₃; у₃), то

Доказательство:

Опустим из вершин перпендикуляры: АА₁, ВВ₁, СС₁. Очевидно, что . Поэтому

Угол между прямыми на плоскости.

Теорема. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как .

Доказательство:

Имеем a₂=j+a₁ (теорема о внешнем угле треугольника)

Þ j=a₂ - a₁. Если j¹p¤2, то

Следствия:

1. Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.

2. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА, В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают.

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .

Доказательство.

Расстояние d от точки М₀ до прямой L равно модулю проекции вектора М₁М₀, где М₁(х₁;у₁) – произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора n=(A;B). Следовательно,

Так как точка М₁ принадлежит прямой L, то Ах₁+Ву₁+С=0, т.е. С= - (Ах₁+Ву₁).

Тогда .

Пример 1. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k₁ = -3; k₂ = 2 tgj = ; j = p/4.

Пример 2. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k₁ = 3/5, k₂ = -5/3, k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример 3. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: . Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение линии в пространстве.

Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0.

Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

Пусть F₁(x, y, z) = 0 и F₂(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

Тогда пару уравнений называют уравнением линии в пространстве.

Дата добавления: 2015-06-28