Формула Эйлера

Рассмотрим решение задачи об устойчивости сжатого стержня. Пусть стержень, оба конца которого закреплены шарнирно, сжат силой Р _кр (рис. 10.6). Стержень искривился так, что в сечении z прогиб составил δ. Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид:

.

Изгибающий момент в сечении z в изогнутом состоянии равен моменту силы Р _кр, но обратного направления, а, следовательно, и знака:

.

Тогда дифференциальное уравнение изогнутой оси балки в направлении минимальной жесткости будет:

.

Обозначая

_, (10.1)

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно прогиба δ:

.

Его общее решение имеет вид:

,

где С и D – постоянные интегрирования, определяемые из условий на опорах. На опорах стержня прогиб равен нулю, т.е.

1) при z = 0, n = 0;

2) при z = l, n = 0. Подставляя первое условие в уравнение прогибов получим С = 0, из второго условия получим .

Последнее соотношение справедливо при , где n – любое целое число.

Откуда , с учетом принятого ранее обозначения (10.1), получим:

. (10.2)

Минимальное действительное значение критической силы получится при n = 1

. (10.3)

Это и есть формула Эйлера для критической силы.

Прогиб стержня с шарнирным закреплением концов происходит по синусоиде с одной полуволной:

.

Дата добавления: 2015-06-28