Определение устойчивости системы по годографу

Устойчивость замкнутой системы определяется, используя амплитудно-фазовую частотную характеристику АФЧХ – годограф.

Передаточная функция всей системы имеет выражение

Wc (p) =

Устойчивость системы определяется по критерию Найквиста.

В выражении заменим оператор Лапласа р на jw.

Y=

Y=

Уравнение разделяется на действительную и мнимую части:

Re (w) =

Im (w) = 5,5w-5,68

Для определения реперных точек годографа приравняем мнимую часть к нулю и определим частоты:

Im (w) = 0

5,5w – 5,68

Подставим значение этих частот в выражение действительной части:

Re (0,97) = 4,4 -2,09*

Im (0) = 4,4

Определяются частоты при условии, что действительная часть равна нулю:

Вводится новая переменная и получается квадратное уравнение

При решении этого уравнения убедимся, что оно имеет мнимые корни. Это значит, что годограф не пересекает мнимую ось.

Для определения других реперных точек определим максимальные значения годографа по условиям:

dIm / dw = 0, тогда

, подставим в мнимую составляющую годографа и получим jN (0,55) = 1,6;

dRe/ dw = 0, тогда

- , подставим в действительную составляющую годографа Re (0) = 4,4; Re (1) = 3,4.

Теперь определим поведение годографа при частотах w >1. Для этого возьмём значение частоты w = 2. В результате получим Re (2) = 12,4 и

Im (2) = -34,6. Все определённые точки нанесем на чертеж.

На плоскости системы координат устанавливаем найденные точки с указанием, к какой частоте они принадлежат. Соединяем реперные точки, двигаясь в сторону увеличения частоты. Таким образом, получается КРИВАЯ ГОДОГРАФА.

-Re____________________________________________________ Re

Согласно критерию Найквиста кривая не должна пересекать ось в отрицательной полуплоскости за пределами точки (-1, i0). Из этого критерия следует, что наша система устойчива.

Дата добавления: 2015-06-28