Решение.

Решение.

Пример 6.2. Дана матрица . Найти её нормы, определённые по (6.5), (6.6), (6.7).

Для вычисления последней нормы найдём матрицу , сопряжённую матрице , перемножим их и найдём наибольшее собственное число произведения:

, ,

Следуя [9], докажем теперь, что норма матрицы , определяемая равенством (6.5), является согласованной с нормой вектора , определяемой равенством (6.2), в соответствии с определением согласованности, которое даётся равенством (6.1).

Доказательство. Рассмотрим вектор . По определению (6.2) имеем:

Отсюда следует, что имеет место неравенство

(6.8)

Мы доказали, что значение , которое вычисляется по формуле (6.5), является какой-то из верхних границ для отношения , где - любой ненулевой вектор. Для того, чтобы доказать, что норма (6.5) является согласованной с нормой (6.2), требуется показать, что она является супремумом, т.е. наименьшей из всех верхних границ, что может иметь место хотя бы для одного какого-либо вектора . Предположим, что достигается при , т.е.

(6.9)

Введём некоторый вектор следующим образом:

(6.10)

Тогда по определению (6.2) имеем:

(6.11)

Снова рассмотрим вектор , теперь - для вектора (6.10). По формуле (6.2) получим:

(6.12)

Если в правую часть (6.12) вместо индекса подставить какой-то произвольный номер, то это выражение может только уменьшиться. Положим . Продолжая (6.12), с учётом (6.10), (6.11) и (6.9) последовательно находим

.

Отсюда получаем

(6.13)

Неравенство (6.13) имеет место для специально подобранного вектора , который определяется равенством (6.10). В то же время, неравенство (6.8) выполняется для любого вектора , в т.ч. и для вектора (6.10). Отсюда, сравнивая (6.8) и (6.13), получаем то, что и требовалось доказать:

Доказательства согласованности норм (6.3), (6.6) и (6.4), (6.7) также не вызывают затруднений и здесь не приводятся (см. [9]).

Приведём также без доказательства важный результат ([9]). Если - симметричная матрица, то для неё

(6.14)

И, далее, модуль любого собственного значения матрицы не больше любой ее нормы.

6.3. Погрешность приближённого решения системы линейных алгебраических уравнений и обусловленность матриц. Собственно методы решения СЛАУ мы рассмотрим уже в ближайших параграфах. А здесь, следуя [9], постараемся ответить на вопрос, как на погрешность решения СЛАУ влияют ошибки в задании коэффициентов матрицы системы и компонентов вектора её правой части.

Итак, решается СЛАУ

	(6.15)
Здесь и далее в учебнике - матрица СЛАУ размерности , её коэффициенты будем обозначать через , ; - вектор правой части СЛАУ. Пусть, однако, матрица и вектор известны с погрешностями, т.е. на самом деле вместо (6.15) должно быть
, , (6.16)
Здесь - матрица ошибок задания матрицы коэффициентов , а - вектор ошибок задания вектора правой части . Пусть известны нормы и . Требуется оценить погрешность решения. Обозначим через решение (6.15), через - решение (6.16), через =- погрешность решения СЛАУ. Подставим , и в первое равенство (6.16):

Учитывая (6.16), получим

откуда

Умножая последнее равенство на слева, находим

(6.17)

Т.к. и - погрешности, которые предполагаются малыми, то можно ожидать малости и от . Следовательно, их произведением в (6.17) можно пренебречь. Получаем

(6.18)

В частности, при точном задании матрицы коэффициентов (имеем:

(6.19)

Применяя норму к обеим частям (6.18), находим оценку погрешности

.

(6.20)

А из (6.19) получаем

(6.21)

Формула (6.21) позволяет оценить погрешность решения СЛАУ в зависимости от погрешности её правой части. Однако мы видим, что если обе части исходной системы (6.15) умножить на один и тот же сомножитель, оценка (6.21) увеличится. Другими словами, это неравенство, которое описывает абсолютную погрешность решения, зависит от масштаба коэффициентов системы и не слишком информативно. Здесь более показательным будет получение и использование зависимости между относительными погрешностями правой части СЛАУ и её решения. Для этого определим показатель, который называется мерой обусловленности системы, по формуле:

(6.22)

Как видно, это есть значение отношения относительной погрешности решения к относительной погрешности правой части. Вынося в правой части (6.22) за знак супремума то, что на него не влияет, получим:

(6.23)

Из определения следует, что это есть наименьшее из всех верхних границ указанного отношения, и это равенство может достигаться при каком-либо значении . Ну а для произвольных имеет место неравенство

(6.24)

При выше мы имели . Следовательно, по определению (6.1) согласованности норм в пространствах векторов и матриц имеем:

Тогда из (6.23) получаем:

(6.25)

Меру обусловленности системы по формуле (6.25) оценивать достаточно сложно, т.к. в это выражение входит решение исходной системы, которое заранее неизвестно. Поэтому наряду с числом используют более грубую характеристику погрешности решения СЛАУ, которая определяется только свойствами матрицы . Она называется мерой (или числом) обусловленности матрицы и задаётся формулой

(6.26)

Согласно этому определению и (6.24), получаем:

Как мы видим, число является как бы коэффициентом пропорциональности между относительной погрешностью правой части СЛАУ и относительной погрешностью решения. Таким образом, чем больше значение , тем хуже обстоит дело с погрешностью решения.

Вычислим правую часть (6.26). Применяя ещё раз определение (6.1), имеем:

Подставляя найденное значение в (6.26), получаем:

(6.27)

Эту формулу удобно применять для вычисления . Получим из неё ещё и оценку для . Во-первых, воспользуемся свойством, сформулированным в конце прошлого пункта: норма матрицы не меньше любого собственного числа этой матрицы, т.е. имеет место неравенство: .

Во-вторых, вспомним, что собственные значения матриц и являются взаимно обратными. Отсюда имеем

.

Подставляя полученные соотношения в (6.27), находим:

(6.28)

Решим ряд примеров.

Пример 6.3. Найти нормы матрицы , её число обусловленности и оценку числа обусловленности.

Дата добавления: 2014-01-03