Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Решение. 1) Нормы матрицы найдём по формулам (6.5)-(6.7):




1) Нормы матрицы найдём по формулам (6.5)-(6.7):

, ,

2) Для вычисления числа обусловленности матрицы по формуле (6.27) найдём её обратную матрицу по формуле , где , - алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы, - определитель матрицы . Получим: , , . Вычислим по формуле (6.27), используя нормы (6.5) и (6.6):

, , ,

3) Для оценки числа обусловленности по формуле (6.28) найдём собственные числа матрицы : , , . Отметим, что данная оценка соответствует точному значению .

Пример 6.4.Оценить абсолютную погрешность решения СЛАУ , если известно, что матрица задана точно, а правая часть – с погрешностью .

Решение.Для оценки воспользуемся формулой (6.21). Значения норм матрицы возьмём из предыдущего примера. Подсчитаем нормы вектора , применяя формулы (6.2) и (6.3): , ; , .

 

6.4. Вычислительная практика. Вычисление норм векторов и матриц средствами пакета MAPLE.

Рекомендуемая литература: [18].

При работе в пакете Maple с матрицами и векторами необходимо использовать библиотеку linalg, которая подключается с помощью with(linalg); (если после оператора стоит «;», то выдается сообщение обо всех функциях содержащихся в библиотеке, если после оператора стоит «:», сообщение не выдается). Определить матрицу и вектор можно с помощью операторов:

1. – здесь первые два индекса указывают на число строк и столбцов матрицы , далее в квадратных скобках перечисляются через запятую все элементы матрицы;

Для вектора:

 

2. – матрица задается списком строк (по строкам):

 

 

3. – матрица может быть задана с помощью функции, определяющей ее элементы

4. если матрица (вектор) имеет нулевые элементы:

 

5. – задание единичной матрицы, оператор op служит для отображения матриц (векторов):

 

6. описание матрицы (вектора) – указывается число строк и столбцов для матриц и число элементов для вектора:

7. транспонированную матрицу можно получить с помощью оператора transpose:

 



8. для нахождения обратной матрицы используют оператор inverse:

 

В Maple используют следующие нормы:

Нормы векторов:

Формула Представление в Maple

 

Найдем все нормы для вектора :

1. ответ: 11;

2. ответ: 27;

3. ответ:

 

Нормы матриц:

Формула Представление в Maple
Строковая норма:
Столбцовая норма:
Норма Фробениуса

 

Здесь -ое собственное значение матрицы .

Найдем все нормы для матрицы :

 

1. ответ: 14;

2. ответ: 10;

3. ответ: 8.971690045;

4. ответ: 11.57583690;

Замечание: Если матрица симметрична (), то , или в более общей формулировке любая норма симметричной матрицы не меньше максимального из ее собственных значений .

Число обусловленности матрицы

Число обусловленности матрицы определяется формулой (6.27)

причем нормы должны быть согласованы, т.е. если в , то и для вычисления нормы обратной матрицы следует взять . Для числа обусловленности матрицы справедлива оценка (6.28):

Отметим такое важное применение нормы матрицы, как определение погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) по заданной погрешности правой части .

Погрешность решения СЛАУ при заданной погрешности правых частей может быть оценена до решения системы по формуле (6.21):

В практических занятиях часто возникает необходимость вычисления обратных матриц. Для квадратных матриц размерности справедлива теорема: Если матрица принадлежит , то и обратная матрица принадлежит и определяется формулой (частный случай формулы, приведённой в примере (6.3)):

 

 





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 2623; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.019 сек.