Соотношение между спектрами одиночного импульса и периодической последовательности импульсов

Переход от комплексной записи к тригонометрической

В конце анализа после промежуточных вычислений:

Пусть задан непериодический сигнал S₁(t) и его спектральная плотность:

При повторении импульса S₁(t) с периодом Т₁ мы получаем линейчатый (дискретный) спектр периодической последовательности.

Амплитуда n-ной гармоники

Коэффициент n-ной гармоники:

2012-02-27

Рассчитать спектральную плотность одиночного прямоугольного видеоимпульса.

S(ω) =

Чем компактнее во времени локализован S(t), тем шире будет его спектр. У сигнала, представляющего более гладкие функции, амплитудный спектр убывает быстрее, т.е. с ростом номеров гармоник их амплитуды стремятся к нулю, ряд сходится быстрее.

Спектры некоторых распространённых импульсов

Основные св-ва преобразования Фурье

Теорема линейности. К линейным операциям относят сложение, усиление и ослабление сигналов.

Пусть дана совокупность сигналов S₁(t), S₂(t), S₃(t), S_n(t), обладающими спектральными плотностями S₁(ω), S₂(ω), S₃(ω), S_n(ω), тогда суммарному (разностному) значению сигнала будет соответствовать сумма (разность) их спектральных плотностей:

S_∑(t) = S₁(t) + S₂(t) + … + S_N(t); S_∑(ω) = S₁(ω) + S₂(ω) + … + S_N(ω)

α_i, где α – произвольный коэффициент.

Теорема запаздывания (сдвиг сигнала во времени). Пусть задан сигнал S₁(t), который имеет спектральную плотность S₁(ω). Задержим этот сигнал, t_з – время задержки.

S₂(t) = S₁(t-t_з) → определить S₂(ω).

S₂(ω) =.

Амплитудный спектр задержанного сигнала такой же, как спектр исходного сигнала, а фазовый спектр приобретает дополнительные слагаемые -jωt_з.

Теорема смещения спектра сигнала по частоте. Если S₁(ω) → S₁(t). Полученная путём сдвига исходного спектра на величину Ω будет соответствовать сигналу:

Доказательство:

2012-03-03

Теорема об изменении масштаба времени. Пусть в исходном сигнале S₁(t) → S₁(ω), масштаб времени изменён таким образом, что аргумент t умножен на постоянный коэффициент b:

S₂(t) = S₁(b*t); S₂(ω) =?

· Если коэффициент b >1, то происходит сжатие исходного сигнала

· Если b < 1, то происходит растягивание сигнала

S₂(ω) =;

S₂(=> S₂(ω) = (1/b)*S₁*(ω/b).

Таким образом, увеличение длительности импульсного сигнала любой формы в b-раз сопровождается сжатием ширины его спектра и увеличением его амплитуды во столько же раз, и наоборот.

Теорема об умножении сигнала на гармоническую функцию. Пусть дан сигнал S₁(t) → S₁(ω). Умножим исходный сигнал на гармоническую функцию единичной амплитуды, частоты ω₀ и нулевой начальной фазой.

S₂(t) = S₁(t)*cos ω₀t; S₂(ω) =?

S₂(ω) =

Распишем косинус по формуле Эйлера:

При умножении исходного сигнала на гармоническую функцию его спектр раздваивается на 2 слагаемых вдвое меньшего уровня и смещённых на частоту ±ω₀.

Теорема о спектре произведения сигналов (теорема о свёртке спектра). Из математики известно, что скалярное произведение двух функций скалярное произведение двух функций f(t) и h(t) определяется формулой:

Пусть заданные сигналы f(t) и h(t) известны из спектральные плотности: f(t) → F(ω), h(t) → H(ω), тогда их произведение u(t) = f(t)*h(t) будет характеризовать спектральная плотность S(ω).

Выразим сигнал f(t) через спектральную плотность F(ω) обратным преобразованием Фурье с заменой переменной ω на τ:

Дифференцирование и интегрирование сигнала. Пусть задан сигнал S₁(t) → S₁(ω).

Продифференцируем: S₂(t) = dS₁(t)/dt, тогда S₂(ω) = jωS₁(ω).

Проинтегрируем: S₂(t) = тогда S₂(ω) = (1/(jω)) S₁(ω).

Доп. задание:

1. Для каждого пример задаться начальными параметрами сигнала и рассчитать спектр, выполнить преобразование для прямоугольного видеоимпульса

2. Сдвиг по времени до конца марта

Сроки: минимальные – первые 5 человек, до конца марта. Каждая теорема по 2 балла.

Взаимная заменяемость ω и t в преобразованиях Фурье (самостоятельно)

Спектры некоторых неинтегрируемых функций

δ-функция и её спектр

Рассмотрим теоретическую модель бесконечно узкого (короткого) импульса с бесконечно большой амплитудой.

Площадь такого импульса равна 1. Такую функцию называют δ-функцией.

При сдвиге δ-функции по оси времени на некоторый интервал t₀. Её можно записать:

Пусть имеется непрерывная функция S(t), тогда

Это соотношение характеризует фильтрующее (выделяющее) св-во δ-функции.

Спектральная плотность δ-функции: S(ω) =

Такое сложение называется когерентным.

2012-03-05

Основы корреляционного анализа

Корреляционный анализ играет большую роль в теории сигналов. Этот вид анализа пришёл в радиотехнику в конце 40-х – начале 50-х годов прошлого века. Он позволяет решать задачи обнаружения одного сигнала в другом, или на фоне помех. Корреляционная хар-ка даёт представление о скорости изменения сигнала во времени, а также о длительности сигнала без разложения на гармонические составляющие.

Обратимся к примеру упрощённой схемы импульсного радиолокатора, а конкретно к уст-ву для измерения времени задержки:

Уст-во сравнения работает сл. образом: сигнал на его выходе появляется лишь в случае, когда оба входных колебания являются копиями друг друга. Зная номер канала, в котором появится сигнал, можно определить τ_з и соответственно вычислить дальность до цели.

Подобное уст-во будет работать тем точнее, чем в большей степени разняться сигнал и его копия (смещённая во времени).

Дата добавления: 2014-01-03