Связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала

Автокорреляционная функция сигнала

Для количественного определения степени отличия сигнала S(t) от смещённой его копии S(t-τ) используется автокорреляционная функция (АКФ) B(τ), которая равна:

B_S(τ) =.

Св-ва автокорреляционной функции:

1. При τ=0 АКФ равна: B_S(0) = Э_S

2. Автокорреляционная функция всегда чётная

3. При любом значении временного сдвига τ модуль автокорреляционной функции не превосходит энергию сигнала: |B_S(τ)| ≤ B_S(0) = Э_S

Пример. Определить АКФ прямоугольного видеоимпульса с амплитудой E и длительностью t_и.

АКФ протяжённого периодического сигнала

Или для периодического:

Пример. Определить АКФ гармонического косинусоидального сигнала S(t) = U_m cos(ωt+φ₀), -∞ < t < ∞.

B(τ) = U_m cos(ωt + φ₀ + ωτ)dt = (U_m­²/2).

Пересчитать дома самому!

АКФ периодического сигнала:

1. Сама периодическая

2. АКФ не зависит от начальной фазы φ₀ исходного сигнала. Это значит, что по полученной АКФ нельзя восстановить исходный сигнал

Пусть S(t) → S(ω), тогда АКФ для этого сигнала:

B_S(τ) =

Запишем исходный сигнал через обратное преобразование Фурье. Подчёркнутое выражение есть функция комплексно-сопряжённая со спектральной плотностью S(ω) исходного сигнала.

Прямое преобразование Фурье:

Тогда B_S(τ) =.

Энергетический спектр сигнала показывает распределение энергии сигнала по оси частот. Размерность: [(B²c)/Гц].

Учитывая последнее выражение:

B_S(τ) = _S(ω)e^jωt dω (1)

W_S(ω) = (τ)e^-jωτ dτ (2)

Итак, АКФ сигнала (1) представляет собой обратное преобразование Фурье от его энергетического спектра. Прямое преобразование от АКФ определяет энергетический спектр сигнала.

Выводы:

1. Чем шире энергетический спектр сигнала, тем меньше интервал корреляции, и наоборот.

2. Выражения (1) и (2) позволяют экспериментально определить одну функцию по значению другой. Например, получить АКФ сигнала, а затем с помощью прямого преобразования Фурье вычислить его энергетический спектр без разложения в ряд Фурье.

На лабе будет 4 работа.

2012-03-10

АКФ дискретного сигнала (самостоятельно)

Для дискретного сигнала справедливо:

B_n(n) = (*)

Функция будет также дискретна, чётна и при нулевом сдвиге её энергия будет равна энергии нулевого сигнала:

B(0) =

С помощью кода можно закодировать амплитуду импульса:

Дата добавления: 2014-01-03