Матричные игры с нулевой суммой

Будем рассматривать игры, в которых у каждого из двух игроков А и В конечное число возможных действий – чистых стратегий. Допустим, что игрок А располагает m чистыми стра­тегиями А₁,..., А_m, а игрок В - n чистыми стратегиями В₁,..., В_n. Чтобы игра была полностью определенной, необходимо ука­зать правило, сопоставляющее каждой паре чистых стратегий А_i и В_j число а_ij - выигрыш игрока А за счет игрока В или проигрыш игрока В.

Рассматриваем парные игры с нуле­вой суммой, в которых выигрыш одного игрока равен проиг­рышу другого. При а_ij < 0 игрок А платит игроку В сумму | a_ij |. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор пары чи­стых стратегий (А_i; В_j) единственным образом определяет ис­ход (результат) игры. Если же в игре используются случай­ные ходы, то исход игры определяется средним значением выигрыша (математическим ожиданием). Если известны зна­чения а_ij для каждой пары (А_i; В_j) чистых стратегий, то можно составить матрицу игры – платежную матрицу (таблица 7.1), яв­ляющуюся табличной записью функции выигрыша.

Таблица 7.1 – Платежная матрица игры

Аi	Вj	αi
В1	…	Вn
А1	а11	…	a1п	α1
…	…	…	…	…
Am	am1	…	amn	αm
βj	β1	…	βn

В теории матричных игр всегда предполагается, что в платежной мат­рице записаны выигрыши игрока А. Напомним, что выигры­ши могут выражаться и отрицательными числами. Это озна­чает, что в подобном случае фактически выигрывает игрок В. Описанные игры называют прямоугольными, или матричны­ми. Отдельная партия в такой игре реализуется следующим образом. Игрок А выбирает одну из строк платежной матрицы (одну из своих чистых стратегий). Не зная результата его вы­бора, игрок В выбирает один из столбцов (свою чистую страте­гию). Элемент матрицы, стоящий на пересечении выбранных строки и столбца, определяет выигрыш игрока А (проигрыш игрока В).

Дата добавления: 2014-01-03