Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной под знаком неопределенного интеграла

Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a, b), если для всех x из этого интервала выполняется равенство

. (1)

Неопределенным интегралом от функции f (x) называется множество всех первообразных этой функции, то есть неопределенный интеграл – это выражение вида , где .

Процедуру нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием. При интегрировании используют: таблицу интегралов (таблица 2), свойства интегралов и специальные методы интегрирования, основные из которых – замена переменной и интегрирование по частям.

Таблица основных неопределенных интегралов.

1.; 2.; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. .

При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 1. Найти .

Решение. Воспользуемся свойствами 1-3, а также таблицей интегралов:

=+3= .

Ответ: =.

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (метод подстановки), который в некоторых случаях позволяет свести заданный интеграл к табличному интегралу.

Замена переменной под знаком неопределенного интеграла осуществляется по формулам:

или

. (2)

Пример 2. Найти .

Решение. Воспользуемся формулой (2) и таблицей интегралов:

Ответ: .

Этот интеграл можно взять, используя подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции (не прописывая замену переменной)

==.

Наиболее часто прием подведения под знак дифференциала используется при линейной замене переменной интегрирования:

, (3)

так как .

Пример 3. Найти .

Решение. Согласно формуле (3) можно записать:

.

Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:

Ответ: =.

Дата добавления: 2014-01-03