Ускорение точки

Пусть теперь известна функция . На рис. 5.10 и - векторы скорости движущейся точки в моменты t и Dt. Чтобы получить приращение вектора скорости перенесем параллельно вектор в точку М:

Средним ускорением точки за промежуток времени Dt называется отношение приращения вектора скорости к промежутку времени Dt:

 

 

Рис.5.10

. Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости к приращению времени Dt при стремлении последнего к нулю, т.е. .

Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной радиус-вектора по времени

. (5.11)

Ускорение точки - это векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости по времени.

Построим годограф скорости (рис.5.11). Годографом скорости по определению является кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости откладывается из одной и той же точки.

Рис.5.11

Очевидно, что скорость точки, вычерчивающей годограф скорости, будет равна ускорению точки при ее движении по траектории. Единицей измерения ускорения в системе Си является м/с2.

Определение скорости точки при координатном способе задания её движения

 

Пусть движение точки задано координатным способом в декартовой системе координат

х = x(t), y = y(t), z = z(t)

Радиус-вектор точки равен

.

Так как единичные векторы постоянны, то по определению

. (5.12)

Обозначим проекции вектора скорости на оси Ох, Оу и Oz через V_x, V_y, V_z соответственно и разложим вектор скорости по осям:

(5.13)

Сравнивая равенства (5.12) и (5.13) получим

(5.14)

В дальнейшем производную по времени будем обозначать точкой сверху, т.е.

.

Модуль скорости точки определяется формулой

. (5.15)

 

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:

 

Определение ускорения точки при координатном способе задания её движения

 

Вектор скорости в декартовой системе координат равен

.

По определению

. (5.16)

Обозначим проекции вектора ускорения на оси Ох, Оу и Oz через а_x, а_y, а_z соответственно и разложим вектор скорости по осям:

. (5.17)

Сравнивая равенства (5.16) и (5.17) получим

. (5.18)

Модуль вектора ускорения точки вычисляется аналогично модулю вектора скорости точки:

, (5.19)

 

а направление вектора ускорения - направляющими косинусами:

 

 

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания её движения

 

Рис.5.12

При этом способе используются естественные оси с началом в текущем положении точки М на траектории (рис.5.12) и единичными векторами Единичный вектор направлен по касательной к траектории в сторону положитель- ного отсчета дуги, единичный вектор направлен по главной нормали траектории в сторону ее вогнутости, единичный вектор направлен по бинормали к траектории в точке М.

Орты и лежат в соприкасающейся плоскости, орты и в нормальной плоскости, орты и - в спрямляющей плоскости.

Полученный трехгранник называется естественным.

Пусть задан закон движения точки s = s(t).

Радиус вектор точки М относительно какой-либо фиксированной точки будет сложной функцией времени .

Из дифференциальной геометрии известны формулы Серре-Френе, устанавливающие связи между единичными векторами естественных осей и вектор-функцией кривой

где r - радиус кривизны траектории.

Используя определение скорости и формулы Серре-Френе, получим:

. (5.20)

Обозначая проекцию скорости на касательную и учитывая, что вектор скорости направлен по касательной, имеем

. (5.21)

Сравнивая равенства (5.20) и (5.21), получим формулы для определения вектора скорости по величине и направлению

. (5.22)

Величина положительна, если точка М движется в положительном направлении отсчета дуги s и отрицательна в противоположном случае.

Используя определение ускорения и формулы Серре-Френе, получим:

(5.23)

Обозначим проекцию ускорения точки на касательную , главную нормаль и бинормаль соответственно.

Тогда ускорение равно

(5.24)

Из формул (5.23) и (5.24) следует, что вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и раскладывается по направлениям и :

(5.25)

Проекция ускорения на касательную называется касательным или тангенциальным ускорением. Оно характеризует изменение величины скорости.

Проекция ускорения на главную нормаль называется нормальным ускорением. Оно характеризует изменение вектора скорости по направлению.

Модуль вектора ускорения равен .

Если и одного знака, то движение точки будет ускоренным.

Если и разных знаков, то движение точки будет замедленным.