Линеаризация функций и метод наименьших квадратов

Построение графиков с использованием доверительных интервалов

В практике научных исследований очень часто приходится строить графические зависимости одной из измеряемых величин от другой. Наличие погрешностей измерений обусловливает тот факт, что экспериментальные точки не точно ложатся на прямую или кривую, выражающую теоретическую зависимость между этими величинами.

Один из широко распространенных приближенных методов проведения экспериментальной зависимости заключается в том, что на графике указываются доверительные интервалы значений измеренных величин.

Прямую следует провести так, чтобы она прошла внутри всех доверительных интервалов. Во многих случаях оказывается, что провести прямую с соблюдением этого условия возможно единственным образом.

При нахождении какой-либо величины из графика абсолютная погрешность этой величины определяется так же, как погрешность прибора, не имеющего класса точности: равна половине цены деления соответствующей шкалы графика.

В физических исследованиях очень часто для сравнения эксперимента с теорией пользуются методом линеаризации теоретической зависимости. Например, исследуется зависимость силы тока вакуумного диода от величины задерживающего напряжения между катодом и анодом. Теоретическая зависимость имеет следующий вид:

, (1.17)

где – ток при , – постоянная Больцмана, – абсолютная температура,

– заряд электрона.

Построенный по экспериментальным данным участок зависимости может с равным успехом иллюстрировать и квадратичную, и кубическую, и экспоненциальную зависимости. Чтобы выяснить, подтверждают ли экспериментальные данные теорию, теоретическую зависимость преобразуют так, чтобы между функцией и аргументом была линейная зависимость.

Прологарифмировав выражение (1.17), получим:

(1.18)

Это уравнение прямой вида:

(1.19)

где , , – угловой коэффициент прямой, .

Если экспериментальные результаты улягутся на прямую (в пределах погрешностей измерений) в координатах , можно утверждать, что зависимость между и носит именно экспоненциальный характер, как это и следует из теории (см. рис.1)

Во многих случаях знание уголовного коэффициента и величины позволяет определить и другие параметры изучаемого явления.

Рис.1. Зависимость от величины задерживающего напряжения .

Дата добавления: 2017-01-14