Приклади розв’язування задач

Задача 1 Через блок, що має масу 80 г, перекинутий канат, до кінців якого підвішені тягарці з масами 100 г і 200 г. 3 яким прискоренням будуть рухатися тягарці, якщо їх залишити самі на себе? Тертям і масою каната знехтувати.

Дано: m = 80 г = 0,08 кг m ₁=100 г = 0,1 кг m ₂=200 г = 0,2 кг

а -?

Розв’язок

Застосуємо для розв’язання задачі основні закони поступального і обертального руху. До кожного з тягарців, що рухаються, прикладені дві сили: сила тяжіння , яка направлена униз, і сила натягу каната , яка направлена вгору.

Оскільки прискорення тягарця масою m ₁ направлене вгору, то:

1) Запишемо другий закон Ньютона для поступального руху тягарців m ₁ і m ₂ у векторному вигляді:

2) Спроектуємо цю систему рівнянь на вісь , як показано на рисунку,

врахувавши, що , що є наслідком нерозтяжності канату:

(1)

Згідно з основним законом динаміки обертального руху обертальний момент М, що прикладений до диска, дорівнює добутку момента інерції І диска на його кутове прискорення ε:

(2)

Визначимо обертальний момент. Сили натягу діють не тільки на тягарці, а й на диск. За третім законом Ньютона сили і , що прикладені до ободу диска, однакові за величиною силам і відповідно, але за напрямком їм протилежні: і . При русі тягарців диск обертається з кутовим прискоренням ε за годинниковою стрілкою, тому що . Обертальний момент, що прикладений до диска, дорівнює добутку різниці цих сил на плече, яке дорівнює радіусу диска r, тобто

Моменті інерції диска ; кутове прискорення зв’язане з лінійним прискоренням тягарців співвідношенням . Підставивши у формулу (2) вирази для М, І та ε, отримаємо:

,

звідки

(3)

Після підстановки (1) в (3) одержимо:

,

звідки

(4)

Підставимо числові значення: m = 0,08 кг; m ₁ = 0,1 кг; m ₂ = 0,2 кг.

Отримаємо:

.

Відповідь: a = 2,88 м/с².

Задача 2 Визначити прискорення тягарців а₁, а₂, а₃ і силу натягу ниток Т₁, Т₂, Т₃, зображених на малюнку. Вважати нитки нерозтяжними, тертям і масою ниток та блоків знехтувати.

m₁=4 кг Розв’язок.

m₂=2 кг Рівняння динаміки поступального руху для кожного з тягарців:

m₃=1 кг

а₁-?, а₂-?, а₃-?, Т₁-?, ; ;

Т₂-?, Т₃-?

Враховуючи те, що , а , знаходимо прискорення:

m₁g

m₂g

m₃g

T₁

T₂

T₃

T₁

= 2 м/с²

=4 м/с²

=16 Н; 32 Н.

Відповідь. а₁=2 м/с², а₂=а₃=4 м/с², Т₁=32 Н, Т₂= Т₃=16 Н.

Задача 3 На похилій площині, що утворює з горизонтом кут , знаходиться тіло масою = 2 кг (рис.). Тіло рухається вгору по похилій площині під дією зв'язаного з ним невагомою і нерозтяжною ниткою, перекинутою через блок, вантажу масою = 20 кг. Початкові швидкості тіла і вантажу дорівнюють нулю, коефіцієнт тертя тіла = 0,1. Визначити прискорення, з яким рухаються тіла, і силу натягу нитки. Блок вважати невагомим, тертям знехтувати.

Розв'язання. На тіло , яке рухається по похилій площині, діє сила тяжіння , сила натягу нитки , сила тертя і сила реакції опори . На вантаж діє сила тяжіння і сила натягу нитки . Тут – прискорення вільного падіння. Другий закон Ньютона (рівняння руху) для цих тіл буде мати вигляд

, (12)

, (13)

де , - прискорення руху тіл.

Із умови невагомості і нерозтяжності нитки та відсутності тертя випливає, що , .

Виберемо для тіла систему відліку хОу так, як показано на рисунку. Тоді рівняння руху цього тіла в проекціях на осі х і у запишеться так

, (14)

. (15)

Із співвідношення (15) знайдемо та підставимо у рівняння (14), врахувавши, що , тоді отримаємо

, (16)

де - коефіцієнт тертя.

Рівняння руху вантажу у проекції на вертикальну вісь має вигляд

. (17)

Розв'язавши систему рівнянь (16) та (17) відносно а, після простих перетворень отримаємо

(18)

Знаючи а, підставивши співвідношення (18) у вираз (17) знайдемо силу натягу нитки

.

Після підстановки числових значень фізичних величин отримаємо

м/c²,

=28,2 Н.

Перевіримо розмірності отриманих величин

,

.

Відповідь: 8,4 м/c², 28,2 Н.

Задача 4 Тіло масою m = кг знаходиться на екваторі. Визначити, як зміниться значення сили, що діє на поверхню Землі, якщо тіло, що рухається зі сходу на захід з постійною швидкістю = 20 м/с, змінить напрям свого руху на протилежний.

Розв’язання

Систему координат зв'яжемо з поверхнею Землі, де знаходиться тіло. У цьому випадку система рухається разом з Землею з прискоренням, тобто вона є неінерційною системою. На тіло діятиме сила інерції, що дорівнюватиме геометричній сумі сили, яка виникає при обертанні системи з кутовою швидкістю , і сили Коріоліса, оскільки тіло рухається вздовж екватора з певною швидкістю, тобто

У проекції на вісь ОХ, що проходить через центр Землі і точку, де знаходиться тіло в певний момент часу, результуюча сила, яка діятиме на тіло для першого випадку (рис. 4, а) дорівнюватиме

де P- вага тіла, тобто сила, з якою тіло діятиме на Землю в певній точці; сила інерції; - сила Коріоліса.

Оскільки (тут -радіус Землі), то рівняння запишеться у вигляді

Запишемо рівняння для визначення результуючої сили для випадку, коли напрямок руху тіла по екватору змінився на протилежний. Оскільки напрямок сили Коріоліса зміниться на протилежний (рис. 4, б), тоді результуюча сила дії тіла на Землю дорівнюватиме:

Згідно з умовою задачі необхідно знайти, як зміниться значення сили дії тіла на поверхню Землі. Знайдемо різницю між результуючими силами в першому і другому випадку, отримаємо

Дата добавления: 2017-01-14