Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины

Свойства пределов

Теоремы о пределах

Предел функции

Пусть дана функция:

Определение:

Постоянное число А называется пределом функции в точке если для всех х, сколь угодно мало отличающихся от а, т. е. значение функции у сколь угодно мало отличается от числа А, т.е. т. е. если при х -> а выполняется условие то

(правила предельного перехода)

1.

Предел суммы или разности равен сумме или разности пределов.

2.

Предел произведения равен произведению пределов.

Предел отношения равен отношению пределов.

1.

Предел постоянной равен этой постоянной. 2.

Постоянную можно вынести за знак предела.

Если предел функции равен нулю то она называется бесконечно малой величиной.

Если предел функции равен бесконечности т.е. величине, обратной к бесконечно малой величине, то она называется бесконечно большой величиной.

Следовательно, выполняются равенства: ;

Примеры:

1.

2.

3.

Но при простой подстановке может получиться не­определенность типа В этих случаях ис­пользуются специальные методы, описываемые в следующих темах.

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение предела функции f(x) в точке x₀=a.

2. Сформулируйте теоремы о пределах.

3. Назовите свойства пределов.

4. Опишите понятие бесконечно малой величины.

5. Опишите понятие бесконечно большой величины.

Задания для самостоятельной работы

Найдите пределы функций:

2.3. Раскрытие неопределенности вида о/о

Для раскрытия неопределенности такого вида необхо­димо предварительно дробь сократить (разложив на мно­жители), а затем найти предел.

Например:

1.

здесь использовалась для разложения формула:

где необходимо было решить квадратные уравнения для разложения квадратного трехчлена на множители в числителе и в знаменателе дроби по формуле

здесь, для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, и числитель и знаменатель были умножены на выражение, сопряженное знаменателю, а затем знаме­натель был свернут по формуле разности квадратов.

Вопросы для самоконтроля:

1. Сформулируйте правило раскрытия неопределенности вида о/о.

2. Назовите способы разложения многочлена на множители.

Задания для самостоятельной работы:

Найдите пределы функций:

1. Ответ. 1.

2. Ответ. .

3. Ответ. .

4. Ответ. .

5. . Ответ. -4.

6. . Ответ. .

7. . Ответ. 1.

8. . Ответ. -4

9. . Ответ. 10.

10. Ответ. .

11. Ответ. .

12. . Ответ. .

13. . Ответ. 6.

14. . Ответ. 4.

15. Ответ. .

16. Ответ. .

17. Ответ. .

2.4. Раскрытие неопределенности вида

Для раскрытия неопределенности такого вида необхо­димо числитель и знаменатель разделить на х с наиболь­шим показателем степени.

Например:

где использовали равенства

Вопросы для самоконтроля:

1. Сформулируйте правило раскрытия неопределенности вида

2. Приведите примеры неопределенности вида

Задания для самостоятельной работы

Найдите пределы функций:

Дата добавления: 2017-01-14