Домашняя контрольная работа. Задания для контрольной работы

Задания для контрольной работы

Определение.

Функция

называется непрерывной в точке х₀, если:

1) она определена в некоторой окрестности этой точки;

2) предел приращения функции у, вызываемого приращением аргумента х, равен нулю при т. е.

Другими словами, функция называется непрерывной в точке х₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если приращение ее у при х -> О есть величина бесконечно малая.

Если условие непрерывности функции в точке х₀ нарушено, то говорят, что в этой точке функция имеет раз­рыв (или претерпевает разрыв) и точку х₀ называют точ­кой разрыва функции.

Итак, если приращение у функции при х —» О есть величина бесконечно малая, то функция у = f(x), по оп­ределению, в точке х_п непрерывна. Так как

то, следовательно, при х —> 0 разность между перемен­ной величиной и числом есть величина бес­конечно малая. Отсюда, по определению предела, заклю­чаем, что

т. е. если функция у = Дх), определенная в некоторой окрест­ности точки х₀, непрерывна в точке х₀, то предел ее при х ® х₀ равен значению функции при х =х₀.

Обратно, пусть известно, что

(7)

Тогда разность

есть величина бесконечно малая при х®х₀. Но эта раз­ность есть приращение у функции, отвечающее прира­щению аргумента. Когда Итак, если имеет место равенство (7), то т. е. функция у = f (х) в точке х₀ непрерывна.

Из доказанных предложений следует, что данное выше определение непрерывности функции в точке может быть заменено таким определением:

Функция называется непрерывной в точке х₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если

Среди функций, с которыми мы встречались ранее, имеются функции непрерывные и разрывные.

Функции определены на всей числовой оси, кроме точки ; в этой точке выражения и теряют смысл (деление на нуль невозможно). Условие (8) непрерывности функции в точке требует, чтобы функция была определена в некоторой окрестнос­ти точки х₀, а потому и в самой точке Так как рассмат­риваемые функции в точке 0 не определены, то они пре­терпевают разрыв в этой точке. При эти функции суть величины бесконечно большие. Графики их изобра­жены на рис. 47. Мы видим, что каждый из графиков со­стоит из двух отдельных ветвей; это служит наглядной ил­люстрацией того, что точка есть точка разрыва рас­сматриваемых функций.

	Рис. 3

Если функция непрерывна в каждой точке отрезка [a,b] или промежутка (а, b), то говорят, что она непрерывна на отрезке [а, b] или соответственно в промежутке (а, b).

Так, функция непрерывна в промежутке

Функции непрерывны на любом отрезке, не содержащем точку х = 0.

Функция непрерывна при всех значениях х, кроме значений в точках нарушается условие непрерывности, так как в этих точках функция не определена. По этой же причине функция имеет разрывы в точках при всех же остальных значениях функция ctg х непрерывна.

В полных курсах математического анализа подробно рассматривается вопрос о непрерывности функций, с ко­торыми имеет дело анализ. Здесь мы лишь кратко ука­жем, что все функции, с которыми будем встречаться в дальнейшем, непрерывны всюду, за исключением отдель­ных точек.

Непрерывность функции в точке с определяется соотношением

Отсюда следует, что для нахождения предела при х ® с функции, непрерывной в точке с, достаточно вычислить ее значение при х — с: получающееся при этом число и есть искомый предел функции.

Таким образом, например, находим:

и т. п.

Вместе с тем такая простота нахождения пределов не­прерывных функций позволяет в ряде случаев достаточно легко находить и пределы функций, не являющихся не­прерывными в данной точке.

Пусть, например, требуется найти

В точке функция имеет разрыв: и так как деление на нуль невозможно, то при дробь теряет смысл; другими словами, рассматриваемая функция вовсе не определена в точке а потому имеет разрыв в этой точке. Но при значение из рассмотрения исключается; и выражение можно сократить на

Отсюда следует, что функция и изменяются одинаковым образом. Функция непрерывна в точке поэтому

Следовательно, и

Подобным же образом находим:

Вопросы для самоконтроля:

1. Приведите примеры известных элементарных функций, являющихся непрерывными при всех значениях x, и примеры функций, имеющих разрыв в какой либо точке.

2. Дайте определения функции, непрерывной в точке.

3. Что такое окрестность точки x₀?

4. Дайте определение функции, непрерывной на отрезке.

5. Правило нахождения пределов непрерывных функций и пределов функций, не являющихся непрерывными в данной точке.

1 вариант

1. Найдите пределы функций

а) с б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. Найдите производную функций

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

3. Найдите производные второго порядка для указанных функций

а) ; б) ; в) .

4. Найдите экстремумы функции, используя производную второго порядка

5. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости функции

2 ВАРИАНТ

1. Найдите пределы функций

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з)

2. Найдите производную функций

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ж) ; з) .

3. Найдите производные второго порядка для указанных функций

а) ; б) ; в) .

4. Найдите экстремумы функции, используя производную второго порядка

5. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости функции

Дата добавления: 2017-01-14