Загальне рівняння прямої

Вектором

Рівняння прямої за точкою та нормальним

Пряма лінія на площині

Наприклад.

1. Координати точки задовольняють рівняння прямої , отже, ця точка лежить на прямій. Координати точки дане рівняння не задовольняють: . Отже, не лежить на даній прямій.

2. Точка лежить на колі , оскільки , а точка не лежить на цьому колі, бо .

Нехай в системі координат задана точка і ненульовий вектор (рис.1).

Очевидно існує єдина пряма , що проходить через точку перпендикулярно напрямкові вектора (в цьому випадку називають нормальним вектором прямої ).

Рис.1

Доведемо, що лінійне рівняння

є рівнянням прямої , тобто координати кожної точки прямої задовольняють рівняння (1), але координати точки, що не лежить на , рівняння (1) не задовольняють.

Для доведення зауважимо, що скалярний добуток векторів і в координатній формі збігається з лівою частиною рівняння (1).

Далі використаємо очевидну властивість прямої : вектори і перпендикулярні, тоді і тільки тоді, коли точка лежить на . А за умовою перпендикулярності двох векторів їх скалярний добуток (2) перетворюється в для всіх точок , що лежать на , і тільки для них. Отже, (1) – рівняння прямої .

Рівняння (1) називається рівнянням прямої, що проходитьчерез дану точку знормальним вектором .

Приклад. Дана точка М(4,1) і вектор Необхідно:

1) скласти рівняння прямої , що проходить через точку М перпендикулярно вектору ;

2) перевірити, які з точок М₁(0,3), М₂(-6,6), М₃(3;2,5), М₄(8,-1) лежать на прямій ;

3) побудувати пряму і точки М₁, М₂, М₃, М₄.

Відповіді: 1) (х-4)+2(у-1)=0; 2) ,

Перетворимо рівняння (1)

.

Позначивши , отримаємо

— загальне рівняння прямої.

Таким чином, прямій лінії відповідає лінійне рівняння вигляду (3). Навпаки, за даним рівнянням вигляду (3), де хоча б один з коефіцієнтів і відмінний від нуля, можна побудувати пряму.

Дійсно, нехай пара чисел задовольняє рівняння (3), тобто

.

Віднімаючи останнє від (3), одержимо співвідношення , яке визначає пряму за вектором і точкою .

Дата добавления: 2017-01-14