Канонічне та параметричне рівняння прямої

Приклад

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Приклади.

Побудувати лінії:

а)

б)

в)

г)

Розглянемо рівняння (1) із 3.2

Позначивши , отримаємо

рівняння пучка прямих, або рівняння прямої, що проходить через точку у заданому напрямку. Геометричний зміст коефіцієнта зрозумілий з рис. 6.

В , де – найменший кут, на який потрібно повернути додатний напрямок осі навколо спільної точки до суміщення її з прямою . Очевидно, що якщо кут – гострий, то ; якщо ж – тупий кут, то .

Розкриємо дужки в (5) і спростимо його

де . Співвідношення (6) – рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. При – відрізок, який відтинає пряма на осі (див. рис.6).

Звернемо увагу, що для переходу від загального рівняння прямої до рівняння з кутовим коефіцієнтом необхідно перше розв’язати відносно

Рис.6

де позначено . Якщо ж , то із дослідження загального рівняння вже відомо, що така пряма перпендикулярна осі .

1. Перейти до рівняння з кутовим коефіцієнтом

а) ;

б) .

1. Скласти рівняння пучка прямих, які проходять через початок координат під кутами до осі Х: а) 30°; б) 45°; в) 120°; г)135°.
2. Скласти рівняння прямих, які проходять через точку М(3,-1) під кутами до осі ОХ: а) 45°; б) 60°; в) 135°; г) 150°.
3. Із точки N(5,2) під кутом 45° до осі ОХ падає промінь світла, який відбивається від осі ОХ. Знайти рівняння падаючого і відбитого променів.

Відповіді: 1. а) ; б) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. : а) ; б) ; в) ;

г) . 4. ; .

Нехай в системі координат задана точка і ненульовий вектор (рис.7).

рис.7.

Необхідно скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору , що називається напрямним вектором. Довільна точка належить цій прямій тоді і тільки тоді, коли . Оскільки вектор – заданий, а вектор , то згідно з умовою паралельності, координати цих векторів пропорційні, тобто

Співвідношення (7) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку у заданому напрямку або канонічним рівнянням прямої.

Звернемо увагу, що до рівняння вигляду (7) можна перейти, наприклад, від рівняння пучка прямих (4)

,

або від рівняння прямої за точкою та нормальним вектором (1)

Зауваження. Вище припускалось, що напрямний вектор – ненульовий, але може трапитись, що одна з його координат, наприклад, . Тоді вираз (7) формально запишеться

який, взагалі кажучи, не має смислу. Однак приймають і отримують рівняння прямої перпиндикулярної осі . Дійсно із рівності видно, що пряма визначена точкою і напрямним вектором , перпиндикулярним осі . Якщо ж в цьому рівнянні звільнитись від знаменника, то отримаємо , або – рівняння прямої, перпендикулярної осі . Аналогічно було б отримано для вектора .

Щоб перейти до параметричного рівняння прямої, прирівняємо кожен із дробів (7) до параметра . Оскільки хоча б один із знаменників в (7) відмінний від нуля, а відповідний чисельник може набувати довільні значення, то область зміни параметра – вся числова вісь. Отримаємо

або

Рівняння (8) називається параметричним рівнянням прямої.

Дата добавления: 2017-01-14