Проверка гипотезы. Критерий проверки гипотезы:

Прямая гипотеза :

Критерий проверки гипотезы:

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы

Выбрать уровень значимости α.

Правило 1. Если прямая и альтернативная гипотезы имеют вид

:

: , то

критическую точку ищут в таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы

Если , то признается правильной гипотеза , если же , то признается правильной гипотеза .

Правило 2. Если прямая и альтернативная гипотезы имеют вид

:

: , то

критическую точку ищут по таблице критических точек распределения Стьюдента

Если , то признается правильной гипотеза , если же , то признается правильной гипотеза .

Правило 3. Если прямая и альтернативная гипотезы имеют вид

:

: ,, то

критическую точку ищут по таблице критических точек распределения Стьюдента

Если , то признается правильной гипотеза , если же , то признается правильной гипотеза .

Пример. Техническая норма предусматривает в среднем 40 с на выполнение определенной технологической операции на конвейере по производству часов. От работающих на этой операции поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на нее больше времени. Для проверки данной жалобы произведены хронометрические измерения времени выполнения этой технологической операции у 16 работниц, занятых на ней, и получено среднее время выполнения операции X = 42 с. Можно ли по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости = 0,01 отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, если:

а) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s – 3,5 с;

б) выборочное среднее квадратическое отклонение 3,5 с?

Решение, а) Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная генеральная средняя нормальной совокупности точно равна определенному числу, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна (выборка мала, так как n = 16 меньше 30).

Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.

Н ₀: а = а₀ = 40 – неизвестное математическое ожидание а (нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) равно гипотетически предполагаемому числовому значению а₀ (применительно к условию данной задачи - время выполнения технологической операции соответствует норме).

Н ₁: а > 40 – неизвестное математическое ожидание а (нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) больше числового значения а₀ (применительно к условию данной задачи – время выполнения технологической операции больше установленной нормы).

Так как конкурирующая гипотеза – правосторонняя, то и критическая область – правосторонняя.

В качестве критерия для сравнения неизвестного математического ожидания а (нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) с гипотетическим числовым значением а₀ используется случайная величина t -критерий Стьюдента. (Приложение 2).

Его наблюдаемое значение (t _набл) рассчитывается по формуле

где X – выборочная средняя; а₀ – числовое значение генеральной средней; s – исправленное среднее квадратическое отклонение; n – объем выборки.

Найдем наблюдаемое значение t _набл

Критическое значение (t _кр) следует находить с помощью таблиц распределения Стьюдента (приложение 2) по уровню значимости и числу степеней свободы k.

По условию = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле

k = n - 1,

где k - число степеней свободы; n - объем выборки.

k = 16 - 1 = 15.

Найдем t _кр по уровню значимости = 0,01 (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = 15:

t _{кр(0=;10, k =15)}= 2,6

Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе Н₁: а < 40 t _кр следует находить по таблицам распределения Стьюдента (приложение 2) по уровню значимости (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = n – 1 и присваивать ему знак «минус».

При двусторонней конкурирующей гипотезе Н₁: а≠40t следует находить по таблицам распределения Стьюдента (приложение 2) по уровню значимости а (для двусторонней критической области) и числу степеней свободы k = n – 1.

t _набл < t _кр следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отклонить нулевую гипотезу.

Ответ. По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости а = 0,01 нельзя отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме. Следовательно, жалобы работниц - необоснованны.

Дата добавления: 2015-07-13