Эвольвента и эвольвентное зацепление

Зубчатые передачи и их классификация.

В настоящее время почти нет машин и механизмов без передач зацепления, в числе которых наибольшее применение находят зубчатые передачи. Зубчатой передачей называются трехзвенный механизм, в котором два подвижных звена являются зубчатыми колесами, образующими с неподвижным звеном вращательную или поступательную пару.

Зубчатое колесо с меньшим числом зубьев называют шестерней, с большим числом звеньев- колесом. Индекс I относится к шестерне, индекс 2- к колесу. Зубчатые передачи можно классифицировать по следующим признакам:

1. По форме профиля зубьев различают:

Эвольвентные и круговые (зацепление Новикова М.Л.). В машиностроении главным образом применяют колеса с зубьями эвольвентного профиля, которые обладают целям рядом существенных -технологических и эксплуатационных преимуществ.

2. По взаимному расположению валов сопряженных колес различают:

цилиндрические передачи с параллельными осями, конические с пересекающимися осями, винтовые передачи с перекрещивающимися осями.

Передачи для преобразовательного вращательного движения шестерни в поступательное движение рейки и наоборот.

3. По расположению зубьев и относительному вращению колес- передачи с внешним и внутренним зацеплением.

Угловые скорости этой передачи имеют разные направления, т.е. колеса вращаются в противоположные стороны (внешнее зубчатое зацепление).

Внутреннее зубчатое зацепление. Угловые скорости имеют одинаковые направления, колеса вращаются в одном направлении.

4. По типу зубьев - прямозубые, косозубые, шевронные, спиральные и круговые (конические).

5. По конструктивному оформлению- закрытые, работающие в корпусах, заполненные смазкой и открытые, работающие без смазки или периодически смазываемые консистентной смазкой.

6. По величине окружных скоростей колес

Весьма тихоходные V<0,5 м/с,

Тихоходные V=0,5... З м/с,

Среднескоростные V=3...15 м/с,

Быстроходные V> 15 м/с.

7. В зависимости от твердости рабочих, поверхностей зубьев (или от их термообработки) стальные зубчатые колеса можно разделить на две основные группы: а) с твердости НВ<350- зубчатые колеса нормализованные или улучшенные; б) с твердостью НВ > 350НВ-колеса с зубьями, подвергнутыми поверхностной закалке с помощью ТВЧ, а так же цементированные, планированные и нитроцементированные зубчатые колеса с последующей закалкой и низким отпуском.

К достоинствам зубчатых передач относятся:

1. Постоянство передаточного числа и возможность осуществления его в широких пределах.

2. Высокий К.П.Д., достигающий в цилиндрической передаче 0,99.

3. Применение зубчатых передач в весьма широком диапазоне нагрузок и скоростей.

4. Большая долговечность и надежность в работе.

5. Малые габариты в сравнении с другими видами передач при равных условиях.

6. Простота операций по нарезке зубьев на зуборезных станках и экономичность изготовления зубчатых колес.

Недостатками зубчатых передач являются:

1. Необходимость точного изготовления и монтажа.

2. Незащищенность от перегрузок.

3. Возможность появления вибрации, источником которой является неточное изготовление и неточная сборка передач (в результате этого могут возникнуть значительные динамические нагрузки).

4. Шум при работе особенно при значительных скоростях.

5. Невозможность бесступенчатого изменения передаточного числа.

Подавляющее большинство зубчатых передач, применяемых в технике, имеет зубчатые колеса с эвольвентным профилем.

Эвольвента как кривая для формирования профиля зуба была предложена Л. Эйлером. Она обладает значительными преимуществами перед другими кривыми, применяемыми для этой цели, – удовлетворяет основному закону зацепления, обеспечивает постоянство передаточного отношения, нечувствительна к неточностям межосевого расстояния (что облегчает сборку), наиболее проста и технологична в изготовлении, легко стандартизируется (что особенно важно для такого распространенного вида механизмов как зубчатые передачи).

Эвольвента – это траектория движения точки, принадлежащей прямой, перекатывающейся без скольжения по окружности. Данная прямая называется производящей прямой, а окружность, по которой она перекатывается – основной окружностью (рисунок 1 а).

а) б)

Рис.1(а,б).

Эвольвента обладает следующими свойствами, которые используются в теории зацепления:

1) форма эвольвенты определяется радиусом основной окружности;

2) нормаль к эвольвенте в любой ее точке является касательной к основной окружности. Точка касания нормали с основной окружностью является центром кривизны эвольвенты в рассматриваемой точке;

3) эвольвенты одной и той же основной окружности являются эквидистантными (равноотстоящими друг от друга) кривыми.

Положение любой точки на эвольвенте может быть однозначно охарактеризовано диаметром окружности, на которой она расположена, а также характерными для эвольвенты углами: углом развернутости (обозначается ν), углом профиля (α), эвольвентным углом – invα (рисунок 1 б). На рисунке 1 б показаны эти углы для произвольно выбранной на эвольвенте точки Y, поэтому они имеют соответствующий индекс:

- ν_Y – угол развернутости эвольвенты до точки у;

- α_Y – угол профиля в точке Y;

- invα_Y – эвольвентный угол в точке Y (на окружности диаметра dY).

То есть индекс показывает, на какой окружности находится рассматриваемая точка эвольвенты, поэтому для характерных окружностей используются индексы, приведенные выше.

Например: α_a1 – угол профиля эвольвенты в точке, лежащей на окружности вершин первого колеса;

invα – эвольвентный угол в точке эвольвенты, находящейся на делительной окружности колеса и т.д.

Рассмотрим свойства эвольвенты. Первое свойство имеет строгое математическое доказательство, однако в рамках данного короткого курса оно не приводится.

Так как при формировании эвольвенты производящая прямая перекатывается по основной окружности без скольжения, то в данный момент времени она вращается вокруг точки N (N – мгновенный центр скоростей), описывая бесконечно малую дугу окружности, которая и определяет кривизну эвольвенты в данной точке. Т.е. отрезок NY – это радиус кривизны эвольвенты в точке Y (NY= ρ_Y).

Но отрезок NY в точности равен дуге NY₀ (это та же дуга только вытянутая в прямую линию). Таким образом, имеем:

Чем больше радиус основной окружности, тем больше радиус кривизны эвольвенты в любой ее точке (то есть форма эвольвенты действительно определяется величиной радиуса основной окружности).

Второе свойство также легко просматривается. Так как N – мгновенный центр скоростей, то скорость точки Y перпендикулярна радиусу NY. Но скорость точки, движущейся по криволинейной траектории, направлена по касательной к этой траектории – в данном случае по касательной к эвольвенте в точке Y.

Перпендикуляр к касательной – есть нормаль, поэтому прямая YN с одной стороны является нормалью к эвольвенте в точке Y, с другой стороны является касательной к основной окружности (как производящая прямая, перекатывающаяся по основной окружности).

То, что точка N является центром кривизны эвольвенты в точке Y, показано при рассмотрении первого свойства. Запишем некоторые зависимости, которые используются в дальнейшем при изучении геометрии эвольвентного зацепления (получаются из рассмотрения рисунка 1 б):

Третье свойство эвольвенты очевидно из рисунка 1а. Действительно, если на производящей прямой взять две точки (А и В), то они будут описывать две совершенно одинаковых эвольвенты, причем, как бы не перемещалась производящая прямая, расстояние между этими точками не изменяется (A_iB_i = Const). Т.е. действительно это эквидистантные (равноотстоящие друг от друга) кривые. Но, самое важное, что это расстояние A_iB_i равно расстоянию между этими эвольвентами, измеренному по дуге основной окружности:

Признаком того, что два криволинейных профиля касаются (а не пересекаются), является наличие у них в точке контакта общей нормали. В связи с этим контакт двух эвольвентных профилей происходит на общей касательной к основным окружностям N₁N₂ (рисунок 2), которая одновременно будет являться общей нормалью к этим профилям в точке их касания в любой момент времени (на основании второго свойства эвольвенты).

а) б)

Рис.2(а,б).

Геометрическое место точек контакта профилей, которое они занимают в процессе работы пары зубьев, называется линией зацепления. Таким образом, в эвольвентной передаче линией зацепления является прямая N₁N₂ (общая касательная к основным окружностям).

На рисунке 2 а показано зацепление двух эвольвентных профилей в разные моменты времени. В обоих положениях прямая N₁N₂ является общей нормалью к этим касающимся профилям и проходит через полюс зацепления W (мгновенный центр относительного вращения).

Это, с одной стороны показывает, что эвольвентные профили удовлетворяют основному закону зацепления, с другой стороны обеспечивают постоянство передаточного отношения, т.к. полюс зацепления не меняет своего положения в процессе работы пары (отношение O₂W/O₁W остается постянным).

С изменением межосевого расстояния будет меняться только положение линии зацепления, но вся картина зацепления останется такой же, т.е. по-прежнему будет сохраняться основной закон зацепления, величина и постоянство передаточного отношения. Это очень важное свойство эвольвентного зацепления, т.к. позволяет вписывать передачу в разные межосевые расстояния, что особенно важно при проектировании коробок скоростей, планетарных и дифференциальных механизмов.

Передача оказывается малочувствительной к неточностям межосевого расстояния, что позволяет снизить требования к точности сборки.

Угол между линией зацепления и общей касательной к начальным окружностям в полюсе называетсяуглом зацепления. Угол зацепления, угол профиля на начальной окружности первого колеса и угол профиля на начальной окружности второго колеса равны между собой (α_w1= α_w2= α_w), поэтому все они обозначаются одинаково – α_w (без числового индекса – см. рисунок 2 а).

Отрезок N₁N₂ называется теоретической линией зацепления. На этом участке происходит нормальная работа двух неограниченных эвольвент. В реальной передаче эвольвенты ограничены («обрезаны») окружностями вершин, поэтому вся работа пары происходит на участке линии зацепления P₁P₂, заключенном между окружностями вершин (рисунок 2б).

Отрезок P₁P₂ называется рабочей (активной) частью линии зацепления (иногда называют просто «рабочая линия зацепления», или «активная линия зацепления»). На рисунке 2б показано два положения одной и той же пары: в начале зацепления (зуб ведомого колеса работает своей вершиной, зуб ведущего колеса – нижней рабочей точкой профиля Р₁), и в конце зацепления (зуб ведущего колеса работает своей вершиной и в следующий момент выйдет из зацепления, зуб ведомого колеса работает своей нижней рабочей точкой профиля Р₂).

Примечание: здесь термин «нижняя» или «верхняя» точка относится к положению точек относительно основной окружности, независимо от того, как эти точки располагаются одна относительно другой в пространстве. Из двух рассматриваемых точек профиля «нижней» будет та, которая располагается ближе к основной окружности.

При увеличении радиуса основной окружности до бесконечности радиус кривизны эвольвенты в любой ее точке также становится бесконечно большим, т.е. основная окружность и эвольвента превращаются в прямые линии. Эвольвентное зубчатое колесо превращается в зубчатую рейку с прямолинейным профилем зуба.

Таким образом, рейка с прямолинейным профилем зуба представляет собой частный случай эвольвентного зубчатого колеса и обладает всеми его свойствами, т.е. может работать с любым эвольвентным колесом (при одном и том же модуле) без нарушения основного закона зацепления. При этом вращательное движение колеса преобразуется в поступательное движение рейки или поступательное движение рейки преобразуется во вращательное движение колеса с соблюдением постоянства передаточного отношения.

Т.к. зубчатая рейка с прямолинейным профилем зуба с одной стороны имеет простые формы и легко задать размеры ее элементов, с другой стороны представляет собой эвольвентное зубчатое колесо, то ее параметры положены в основу стандартизации эвольвентных зубчатых колес. Стандартная зубчатая рейка называется исходным контуром (рисунок 3а).

а) б)

Рис.3(а,б).

Имеется несколько стандартов на исходные контуры, учитывающие специфику некоторых видов передач (мелкомодульных, конических и т.д.). В основном используются параметры, определенные ГОСТ 13 755 – 81.

В соответствии с этим стандартом исходный контур имеет следующие параметры:

α = 20⁰ – угол профиля исходного контура (основной параметр, определяющий ряд эвольвент, используемых для зубчатых передач в соответствии с этим стандартом, поэтому часто в конструкторской практике говорят, что у нас в стране используется «двадцатиградусная» эвольвента);

h_a^*= 1 – коэффициент высоты головки зуба;

c*= 0,25 – коэффициент радиального зазора (по другим стандартам в зависимости от модуля и типа инструмента с* может быть равен 0,2; 0,3; 0,35);

Приведенные коэффициенты являются безразмерными величинами. Абсолютное значение какого-либо размера получается умножением соответствующего коэффициента на модуль (Например: высота головки зуба h_a=h_a^* ⋅ m; величина радиального зазора c = c* ⋅ m и т. д.). Таким образом, форма зуба остается постоянной, а абсолютные размеры определяются модулем (т.е. модуль является как бы коэффициентом пропорциональности).

По высоте зуб исходного контура делится на головку и ножку. Это деление осуществляется делительной прямой. Делительная прямая рейки – это прямая, на которой толщина зуба равна ширине впадины (рисунок 3б).

Высота ножки зуба несколько больше головки для обеспечения радиального зазора между вершинами зубьев одного колеса и окружностью впадин другого после сборки передачи.

Стандартные параметры исходного контура на эвольвентное колесо «переносятся» через делительную окружность (на делительной окружности шаг равен стандартному шагу исходного контура p= π ⋅ m, угол профиля равен углу профиля исходного контура α = 20⁰).

Дата добавления: 2015-07-13