Исходные соотношения строгой электродинамической теории

Пленочные диэлектрические волноводы имеют некоторые общие черты с полыми металлическими волноводами. В частности, и те и другие могут поддерживать ограниченное число направленных типов волн-мод на любой заданной частоте; в обеих структурах возможно преобразование мод, если форма волновода отклоняется от идеальной прямолинейной и т.п. В тоже время имеется и существенные различия, вызванные в первую очередь тем, что электромагнитное поле поле существует строго внутри металлических волноводов, а в ДВ оно формально существует во всём пространстве.

Исследуем направляемые (волноводные) моды на примере планарного регулярного диэлектрического волновода (рис 2.1, а-б). Для простоты далее будем полагать, что волновод является бесконечно протяженным в направлении оси OY и изменения поля в этом направлении нет, то есть .

Рис 2.1.Планарный диэлектрический волновод

Ограничимся случаем монохроматического поля с временной зависимостью , где –круговая частота. Для определения структуры электромагнитного поля волн диэлектрического волновода необходимо решить систему уравнений Максвелла:

, , (2.1)

где и , – абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемость

с граничными условиями на поверхностях раздела x=0, x=t и физическим условием убывания поля при .

Каждое из уравнений (2.1) равносильно трем скалярным уравнениям:

; (2.2)

;

(2.3)

В соответствии с методом комплексных амплитуд , где – комплексная амплитуда. После сокращения в (2.2), (2.3) на получим уравнения для комплексных амплитуд.

Задание: из уравнений Максвелла получить (2.5), (2.6).

Поскольку в направляющих линиях необходимо передавать энергию из одного сечения в другое в виде бегущих в направлении осиOZ волн, которые характеризуются множителем бегущей волны , то аналогично случаю полых металлических волноводов решение (2.2), (2.3) для комплексных амплитуд ищем в виде:

, (2.4)

где - комплексные амплитуды, зависящие только от x Г,1/м – коэффициент распространения волны в рассматриваемой структуре.

После подстановки (2.4) в (2.2), (2.3) последние разделяется на две следующие независимые подсистемы:

(2.5) (2.6)

Из (2.5), (2.6) следует, что для рассматриваемого случая моды делятся на волны типа H: , определяемые уравнением (2.5), для которых отличны от нуля только составляющие , и на волны типа E: , определяемые уравнением (2.6), для которых отличны от нуля только составляющие .

Таким образом, для определения структуры возможных типов электромагнитных волн волн в диэлектрическом пленочном волноводе достаточно найти продольную (вдоль оси OZ) – компоненту для H - волн или -компоненту для E - волн, поскольку поперечные компоненты затем можно вычислить, используя (2.5), (2.6). Из уравнений (2.5), (2.6) видно, что для определения структуры электромагнитных волн в диэлектрическом волноводе удобно использовать компоненты – компоненту для H – волн и –компоненту для E - волн.

Задание: пояснить последнее утверждение.

Известно, что каждая из компонент электромагнитного поля в каждой из областей на рис.1.2,б удовлетворяет однородному волновому уравнению

(2.7)

с соответствующими граничными условиями на поверхностях разделов и условию убывания при ; полагалось, что В (2.7) – волновое число свободного пространства ( – длина волны); – оператор Лапласа; – относительная диэлектрическая проницаемость сред.

Дата добавления: 2015-08-31