Моды в симметричном планарном диэлектрическом волноводе

Классификация мод в планарном диэлектрическом волновод

В асимметричном планарном волноводе (рис. 2.1,а,б) для показателей преломления , как правило, выполняются условия: . Поэтому соотношения

(2.21)

представляют собой в системе координат (q, h), (p, h) уравнения окружностей с сильно различающимися радиусами R_q и R_p (рис. 2.2,а). Отсюда q>>p и q>>h при любых h. Кроме того, и .

Теперь рассмотрим зависимость : при угол . Поскольку и , последние уравнения в (2.16), (2.19) можно привести к следующему виду:

для H - мод ; (2.22)

для E - мод .

Так как , система уравнений для H – и E - мод асимметричного волновода с учетом (2.21), (2.22) примет вид

;

;

. (2.23)

В рассматриваемом приближении H– и E - моды сильно асимметричном волноводе вырождены, т.е. поперечные волновые числа h, q, p для m-й моды одинаковы в случае H - и E - мод.

Поперечное волновое число q однозначно находится из первого выражения в (2.23). Систему двух последних трансцендентных уравнений (2.23) относительно h и p можно решить (при желании получить большую точность) одним из численных методов (см. разд. 3), либо более наглядным и простым графическим методом (однако, он обладает сравнительно невысокой точностью).

Решения двух последних уравнений (2.23) представлены на рис. 2.2,б графически на плоскости pt–ht. Совместное решение этих уравнений есть точки пересечения двух кривых, соответствующие модам пленочного волновода. Поскольку величина p должна быть положительной [см. (2.10),(2.18)], следует ограничиться только первым квадрантом (рис. 2.2,в поясняет это). Как следует из рис.(2.2,б), при распространяющихся волноводных мод не существует. Только когда частота колебаний (или разность показателей преломления) становится настолько большой, что , круг радиуса впервые пересекает ветвь m=0 кривой. Это – решение системы из двух последних уравнений (2.23) для m=0; оно описывает в рассматриваемом приближении и - волны, которые являются основными волнами плоского несимметричного диэлектрического волновода. Из выражения для видно, что число волноводных мод зависит от параметров, которые можно изменять, а именно . Так, при в волноводе, кроме – и -мод, распространяются еще две моды и и т.д. Радиус окружности (следовательно, и значение ) для m-й моды должен лежать в пределах

(2.24)

где

Соотношение (2.24) позволяет, зная параметры , найти число распространяющихся мод в волноводе или, наоборот, подобрать эти параметры, исходя из требований.

Найденные значения ptи ht позволяют определить с учетом (2.15) постоянную распространения Г, фазовую скорость и длину волны в линии , а также все компоненты поля из выражений (2.17) или (2.20), т.е., по существу, решить задачу о нахождении мод в планарном асимметричном диэлектрическом волноводе.

На рис.2.3 в качестве примера показано распределение компоненты поля –волн в диэлектрическом волноводе в случае выполнения для каждой моды условия (2.24). Порядок m волны равен, как видно, числу нулей в поперечном распределении поля.

Рис 2.3. Распределение компоненты поля

Удобно для исследования дисперсионных характеристик ДВ (зависимости продольного волнового числа Г от частоты ) записать характеристические уравнения (2.16), (2.19) в виде, непосредственно связывающем Г с параметрами сред и с частотой. Из (2.15) следует, что

(2.25)

где , с- скорость света.

Подставляя (2.25) в (2.16) и (2.19), получаем для симметричного волновода в случае Н - мод

(2.26)

и, соответственно, в случае Е - мод

. (2.27)

Соотношения (2.26), (2.27) представляют собой дисперсионные уравнения и при заданных позволяют проследить зависимость Г от для каждой Н - и Е - моды порядка m. Пример численного решения этих уравнений дан на рис.(2.4,а,б), где – относительная толщина пленки, – эффективный показатель преломления.

Рис.2.4. Дисперсионные кривые.

Численные методы решения дисперсионных уравнений с их программной реализацией рассмотрены в разделе 3. Несовпадение кривых для Н - и Е - мод с одинаковым индексом m вызвано тем, что уравнения (2.21), исследованные ранее (см. кривые на рис.2.2), были получены при упрощающих предположениях. Однако в изотропных диэлектрических волноводах это различие невелико и практически трудно получить одномодовый режим (единственная волна Н₀).

Поскольку в случае направляемых поверхностных мод постоянные h,q,p – положительные действительные величины, то из (2.25) следует, что

где При в соответствии с (2.17), (2.20) волна представляет собой экспоненциальную функцию во всех трех областях (рис. 2.5,а), так что поле неограниченно возрастает вне диэлектрического волновода.

Рис. 2.5. Структура поля для различных режимов

Такое решение физически бессмысленно и практически нереализуемо. Соответственно на графике, приведенном на рис. 2.4,а, .

При из (2.17), (2.20) следует, что волна представляет собой гармоническую функцию в области n₂ и убывает по экспоненциальному закону в областях n₃ (подложки) и n₁ (покрытия) (см. рис.2.1). Поскольку энергия, переносимая такими типами волн, сосредоточена вблизи волноводного слоя n₂, эти волны называются поверхностными (волноводными). Два таких решения показаны на рис.2.5,б,в.

При поле (2.17), (2.20) имеет экспоненциально убывающий характер в области n₁и гармонический в областях n₁, n₃.Такие волны не удовлетворяют физическому условию убывания при x и соответствуют так называемым излучательным модам подложки (рис. 2.5,г). Тогда на графике, приведенном на рисунке 2.4,а нижняя граница отношения .

Наконец, при структура волны становится гармонической во всех трех областях (рис.2.5,д), что соответствует излучательным модам волновода.

Физический смысл ограничений (2.28) состоит в том, что фазовая скорость мод должна быть не больше плоских волн, распространяющихся в материале подложки с показателем преломления n₃, и не меньше плоских волн в волноводном слое с показателем преломления n₂.

В симметричном волноводе (см. рис. 2.1,в) n₁=n₃. Из первых двух уравнений в (2.16), (2.19) следует, что при n₁=n₃имеем p=q. Подставив p=q и n₁=n₃ в последнее уравнений (2.16) и (2.19) и сделав для удобства замену t=2d, получим:

для Н-мод (2.29)

для Е- мод

Тогда характеристические уравнения для симметричного волновода толщиной t=2d будут иметь вид

для Н- и Е-мод

(2.30а)

Н-моды, (2.30б)

Е-моды. (2.30в)

Как и в случае асимметричного планарного диэлектрического волновода, систему трансцендентных уравнений (2.30,а), (2.30,б) или (2.30,а), (2.30,в) можно решить графически (рис. 2.6,а), причем в случае симметричного волновода решение допускают все значения m_c=0,1,2,3..., как четные, так и нечетные (рис.2.6,б).

Для нахождения распределения поля в симметричном волноводе, удобнее сдвинуть систему координат к средней плоскости пленочного волновода (рис.2.1,в): . Тогда с учетом сказанного выше для области [сравни с (2.17), (2.20)]

Н-моды (2.31а)

Е-моды (2.31б)

Выражение (2.31) поясняет смысл четности и нечетности мод в симметричном планарном волноводе относительно координаты x, приведенной на рисунке 2.1,в.

Рис 2.6. К графическому решению системы уравнений в случае симметричного волновода

Задание: записать все компоненты четных и нечетных Н - и Е - мод, используя (2.17), (2.20).

Дисперсионные уравнения для четных и нечетных мод в симметричном пленочном волноводе можно вывести из (2.26), (2.47), учитывая особенности симметричного волновода (n₁=n₃, k₁=k₃),

- четные Н-моды; (2.32а)

- нечетные Н- моды; (2.32б)

- четные Е-моды; (2.32в)

- нечетные Е- моды, (2.32г)

где все обозначения аналогичны обозначениям в (2.26), (2.27).

На примере симметричных пленочных волноводов отметим еще раз особенности рассматриваемых диэлектрических и металлических волноводов.

Во-первых, новая волна, появляющаяся в диэлектрическом волноводе, на критической частоте (см. рис. 2.4,а; 2.6,б) имеет волновое число p=q=0 и в соответствии с (1.25) . Таким образом, волна распространяется со скоростью равной фазовой скорости плоской волны в безграничной среде с параметрами, совпадающими с параметрами среды, окружающей диэлектрический волновод. В то время как в металлическом волноводе при критической частоте =0.

Во-вторых, при частоте ниже критической в диэлектрическом волноводе моды данного типа вообще не существуют, а в металлическом волноводе она существует в виде затухающей волны.

По аналогии с (2.24) (используя рисунок 2.26) можно записать условие, позволяющее найти число распространяющихся Н- и Е - мод в симметричном диэлектрическом пленочном волноводе, зная параметры :

где m _c =0,1,2… (2.33)

Дата добавления: 2015-08-31