Количественной и качественной изменчивости

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Различают два типа изменчивости: количественную, которая может быть измерена, и качественную, которая не поддается измерению.

Под количественной изменчивости понимают такую, в которой различия между вариантами выражаются количеством, например глубиной и шириной реки, скоростью течения, площадь водного сечения и т.д. различают два вида количественной изменчивости: прерывистую, или дискретную, и непрерывную.

Качественной изменчивостью называется такое варьирование, когда различия между вариантами выражаются качественными показателями, которые одни варианты имеют, а другие нет (цвет, вкус, форма изучаемого объекта и др.).

Если признак принимает только два взаимоисключающих друг друга значения (больной – здоровый и т. д.), то изменчивость называется альтернативной, т.е. двояковозможной.

Выборки, стоящие из 30 и более наблюдений, принято называть большими, от 20 до 30 - средними, а выборки меньше 20 – малыми.

При большом числе наблюдений (большая выборка) результаты удобнее представлять в виде систематизированного вариационного ряда.

Вариационным рядом называется такой ряд данных, в которых указаны возможные значения варьирующего признака в порядке возрастания или убывания и соответствующие им частоты.

Графическое изображение вариационного ряда в виде гистограммы или полигона позволяет установить закономерности распределения наблюдений (рис.1 а, в, г):

А) - Рисунок (1а) симметричные гистограммы с однойвершиной

свидетельствуют об однородности выборки, для которой будут справедливы все статистические характеристики;

В) - Рисунок (1в) многовершинные гистограммы указывают на то, что в выборку попали представители нескольких совокупностей с различными средними значениями признака, например, глубина различных рек. Статистические характеристики для таких выборок будут необьективными;

С) -Рисунок (1с) асимметричные гистограммы свидетельствуют о неправильно произведенной выборке или о недостаточном ее объеме. Статистические характеристики для таких выборок будут сопровождаться высокой ошибкой.

а) в) с)

Рисунок 1 - Виды гистограмм

Основными статистическими характеристиками количественной изменчивости являются:

средняя арифметическая, представляющая собой обобщенную наиболее вероятную характеристику всей совокупности;

- дисперсия (среднее квадратичное отклонение), являющееся мерой вариации признака. Дисперсия используется для сравнения вариабельности признаков, имеющих одинаковую размерность;

- стандартное отклонение, характеризующее предельное отклонение отдельного наблюдения;

- коэффициент вариации, или относительный показатель изменчивости признака. Изменчивость принято считать незначительной при V менее 10%, средней, если V равно 10-20%, и значительной, если V более 20%;

- ошибка выборки, характеризующая отклонение выборочной средней Х от средней арифметической генеральной совокупности µ. Она возникает в результате неполной представительности выборки;

- доверительный интервал, в пределах которого находится генеральная средняя всей совокупности µ;

-доверительный интервал отдельного наблюдения, в пределах которого варьируют отдельные наблюдения

Методика решения задач по теме «Статистические характеристики количественной изменчивости»

В результате различных наблюдений исследователь получает много количественных показателей. Без систематизации исходных данных нельзя выяснить характерные особенности распределения изучаемых факторов в совокупности для выяснения закономерностей варьирования признаков и нахождения основных статистических показателей выборки исходные показатели данных систематизируют.

Покажем на примере: По результатам исследований глубины (м) р. Шегарка в районе деревни «Елегечева» получены следующие результаты:

0,37; 0,39; 0,40; 0,42; 0,44; 0,60; 1,14; 1,48; 1,82; 2,03; 2,52; 2,77; 2,88; 2,94; 3,02; 3,03; 2,91; 2,58; 2,45; 2,29; 1,96; 1,91; 1,71; 1,48; 0,98; 0,86; 0,40; 0,38; 0,29; 0,27.

Необходимо определить основные статистические характеристики: среднюю арифметическую ; дисперсию S²; стандартное отклонение S; ошибку средней арифметической ; коэффициент вариации V; относительную ошибку выборочной средней ; и доверительный интервал для генеральной средней.

Постройте эмпирическое распределение (гистограмму) и по статистическим характеристикам сделайте вывод.

1. Определяем число рангов. Ориентировочно оно равно корню квадратному из общего числа взятых для подсчета данных глубины реки:

Количество рангов округляют до целого числа.

2. Находим размах колебаний в данных по глубине реки, по максимальному и минимальному значениям и величину рангового промежутка:

3. Строим вспомогательную таблицу для разноски исходных дат по рангам, в которой и проводим вычисление суммы квадратов.

Таблица 2

Группировка данных и вычисление статистических параметров

N/N	Размах ранга, i	Частота встречаемости, f	Ранговые средние,	Вычисление суммы квадратов
f	(f )^2
	≥0,5		0,50	4,5	20,25
	0,51 – 0,97		0,74	1,48	2,1904
	0,98 – 1,44		1,21	2,42	5,8564
	1,45 – 1,91		1,68	8,40	70,56
	1,92 – 2,38		2,15	6,45	41,6025
	≤ 2,39		2,39	21,51	462,6801
Сум- ма	-			44,76	603,1394

4. Определяем среднюю арифметическую глубины реки . Для этого из таблицы 2 берем сумму произведения частоты встречаемости на ранговую среднюю и делим на общее число данных.

5. Определяем статистические характеристики вариационного ряда: дисперсию S², стандартное отклонение S и коэффициент вариации V.

6. Вычисляем ошибки выборочной средней. Они выражаются в абсолютных и относительных величинах.

а) абсолютная ошибка выборочной средней:

в) относительная ошибка выборочной средней:

7. в завершение анализа вариационного ряда находим доверительный интервал генеральной средней для 1% или 5%-го уровня значимости и строим графическое изображение.

Из приложения 1 при 29 степенях свободы (n – 1) для 5%-го уровня значимости критерий Стьюдента равен 2,06.

Таким образом, средняя арифметическая всей совокупности с 95%-м уровнем вероятности находится в интервале:

Визуальное представление о распределении частот будет более наглядным при графическом изображении данных.

Этот способ очень удобен, он позволяет сразу охватить важнейшие черты, закономерности распределения наблюдений. Графическое изображение вариационного ряда называется кривой распределения или вариационной кривой.

Для построения кривой распределения на горизонтальной линии (ось абсцисс) наносят значения интервала группировки, а по вертикали (ось ординат) – численности этих значений или частоту встречаемости f. Масштаб в обоих направлениях следует выбирать такой, чтобы весь график имел удобную и легко обозримую форму. Ступенчатый график в виде столбиков, имеющих высоту, пропорциональную частотам, а ширину, равную интервалам классов, называется гистограммой, из которой легко получить полигон – кривую распределения, соединив линий средние значения групп (рис.2)

Рисунок 2. Гистограмма и кривая распределения средней глубины (м) р. Шегарка

Выводы

1. Эмпирическое распределение (гистограмма) свидетельствует об неоднородности и необъективности данных о глубине реки Шегарка.

2. Средняя глубина р. Шегарка по результатам составляет: 1,492±0,79 м.

Т Е М А № 3

Дата добавления: 2015-08-31