КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лінійні рівняння першого порядку
Лекція №3. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Рікатті-Буля Задачі для самостійної роботи. Задачі. Практичне заняття №2. Однорідні рівняння Необхідні відомості: 1. Означення однорідного рівняння та його розвязок. 2. Рівняння, що приводяться до однорідних. 1. Знайти загальні рішення рівнянь. 1) ху′-y = 2) y′ = + 2. Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє даним початковим умовам. (y²-3x²)dy+2xydx=0; y| =1 3. Привести рівняння y′= + φ() до квадратури. Яка повинна бути функція φ(), щоб загальним рішенням даного рівняння було y= ? 4. Знайти лінію, у якої квадрат довжини відрізка, що відтинається будь-якій дотичній від осі ординат, дорівнює добутку координат точки торкання. 5. Знайти лінію, у якої довжина полярного радіуса будь-якої її точки М рівняється відстані між точкою перетинання дотичній у точці М с віссю Оу й початком координат. 6. Розв’язати за допомогою заміни: 1. , 2. . Знайти загальні рішення рівнянь. 1. y′= - 2 2.y′= 3. xdx - ydx=ydy 4. y′= 5. y′= + 6. y + x y′=xyy′ 7. y′= + 8. xy′=yln 9. (3y +3xy+x ) dx=(x +2xy) dy Знайти приватні рішення диференціальних рівнянь, що задовольняють даним початковим умовам. 10. (xy′-y) arctg () =x; y| =0 11. y′= ; y| = - 1 12. y + 2x – y=0; y| = 13. Якою поверхнею обертання є дзеркало прожектора, якщо промені світла, що виходять із точечного джерела, відбившись, направляються паралельним пучком? Знайти розв’язки за допомогою зміни змінної. 14. 15.
Означення. Рівняння виду y′=а(х)у+b(х) називається лінійним рівнянням першого порядку. Теорема. Нехай а(х), b(х) неперервні на [a, b], тоді задача Коші в будь-якій точці смуги [a,b] має єдине рішення. Доведення теореми випливає з загальної теореми існування та єдиності розв’язку задачі Коші, оскільки f(x,y)=а(х)у+b(х) неперервна на області [a,b] , а обмежена (а(х) – неперервна на [a, b]).
Знайдемо рішення рівняння методом невизначених коефіцієнтів. Спочатку вирішимо однорідне рівняння y′=а(х)у, або = a(x)dx. Інтегруючи, будемо мати . Отже ln|y|=∫a(x) dx+lnc, c>0, або y=c .Рішення лінійного рівняння будемо шукати у вигляді y=c(х) , де c(х) – невідома функція. Оскільки y=c (х) , то y′= c (х) +c(x) a(x) . Підставляючи y та y′ у рівняння y′=а(х)у+b(х) будемо мати c′ (х) +c(x) a(x) =a(x) c(x) + b (х). Отже c′ (х) = b (х) , або с (х)= ∫ b(х) dx. Таким чином отримаємо розв’язок рівняння у вигляді y(x) = (∫ b (х) dx)∙ . Приклад. Розв’язати y′=xy+x . Оскільки а(х)=х, а b(х)= x ² маємо y= (∫ x²∙ dx) ∙ = (∫ x²∙ dx) ∙ .
Дата добавления: 2017-01-13; Просмотров: 408; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |