Огибаюча сімейства кривих. Рівняння Клеро

Приклади.

1) y′= , (0;0) – особлива точка, оскільки f (х, у) = в точці (0,0) терпе розрив. Розв’язуючи рівняння отримаємо , і ln|y|=2ln|x|+lnc. Отже загальний розв’язок має вигляд y=cx . Таким чином через точку (0,0) проходить нескінченно багато рішень(параболи). Точку такого типу називають вузол.

2) y′= ((0;0) – особлива точка). Розв’язуючи рівняння отримаємо , і ln|y|=ln , отже y= . Тобто через точку (0,0) не проходить ні один розв’язок (гіпербола). Таку точку називають сідло.

3) y′= ((0;0) – особлива точка). Розв’язуючи отримаємо загальний розв’язок: уdy=-хdx, dy=- хdх, отже y =-x +с або y + x =с. Через точку (0,0) не проходить ні один розв’язок (коло). Таку точку називають центр.

4) y′= ((0;0) – особлива точка). Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд x²+y²=с або у полярних координатах =с . Через точку (0,0) теж не проходить ні один розв’язок (спіраль). Таку точку називають фокус.

Самостійно привести зображення кожної з вказаних ситуацій.

Друга умова з порушенням якою зв’язані особливі точки це умова Ліпшица, або обмеженість , тобто особливі точки можуть з’явитися у точках при наближені до яких необмежено росте, або в котрих виконується рівність .

Означення. Крива називається особою, якщо всі точки кривої є особливими. Якщо особлива крива є рішенням диференціального рівняння, вона називається особливим рішенням.

Приклад. Розглянемо рівняння y′= +1. Оскільки то виконується для точок, що задовольняють рівності у=х – особливе рішення. Той факт, у=х рішення нескладно отримати підставляючи у=х до рівняння.

Знайдемо загальне рішення даного рівняння. Для цього введемо заміну z=y – х, z′=y′ - 1 і y′= z′+1, отже z′+1= +1. Розв’язуючи останнє рівняння отримаємо =dx, =∫dx, тобто 3 =x+c, або = x +c і на кінець z= ( x +c) ³. Загальний розв’язок рівняння має вигляд y=x+ ( x +c) ³. Кожна крива цього сімейства проходить через точку кривої у=х і навпаки через кожну точку () кривої у=х проходить деяка крива сімейства, при відповідному (самостійно зробити зображення сімейства та у=х), отже особливий розв’язок рівняння.

Означення. Нехай F(x,y,c)=0 сімейство кривих. Тоді L називається огибаючою цього сімейства якщо в кожній своїй точці вона дотикається лінії сімейства і кожна крива сімейства дотикається до L.

Якщо F(x,y,c)=0 є загальним рішенням диференціального рівняння , то тоді огибаюча сімейства теж є рішенням даного рівняння. Оскільки дотична до огибаючої у довільній точці збігається з дотичною, проведеною до кривої даного сімейства, що дотикається огибаючої у даній точці, то дотична до огибаючої збігається з напрямком, що задається диференціальним рівнянням у даній точці. Отже огибаюча є інтегральною кривою, тобто рішенням. Оскільки через будь-яку точку огибаючої проходить два рішення (огибаюча та деяке рішення з сімейства), то огибаюча – особливе рішення.

Якщо F(x,y,c)=0 сімейство, то огибаючу його визначають з системи: .

Приклад. Для рівняння загальне рішення має вигляд y=x+ .

Знайдемо огибаючу до загального рішення з системи: , , отже у=х.

у=х - огибаюча загального рішення рівняння, отже є особливим рішенням.

Означення. Рівняння виду y=xy′+ (у′) називається рівнянням Клеро.

Знайдемо загальний розв’язок та особливий розв’язок рівняння Клеро. Розглянемо заміну у′=p, тоді y=xp+ (p) і у′=p+xp′+p′ ′(p), враховуючи заміну отримаємо p=p+xp′+p′ ′(p) або

p′ (x+ ′ (p)) =0. Остання рівність виконується у двох випадках:

1) p′=0, тобто p=c і загальний розв’язок має вид y=cx+ (c);

2) , тобто рішення є огибаюча загального розв’язка , яку знаходимо з системи .

Приклад. Знайти загальне та особливе рішення рівняння y=xy′+ (у′) . Загальний розв’язок має вигляд y=cx+ c . Огибаючу знаходимо з системи . Отже c= і y= + або y= . Самостійно розглянути рівняння Лагранжа.

Дата добавления: 2017-01-13