Загальні способи зниження порядку рівняння

Рівняння n-го порядку.

Нехай y =f(x, y, y′,…,y ) - рівняння n-го порядку. Розглянемо слідуючи позначення , тоді рівняння n-го порядку еквівалентно системі

.

Крім того, задача Коші для рівняння: , відповідно еквівалентна задачі Коші для системи:

, .

Теорема (існування та єдиності для рівняння n-го порядку). Нехай дана задача Коші для рівняння n-го порядку:

і функція f(x, y, y′,…,y ) визначена і неперервна як функція (n+1) – зміною в деякому околі точки (x , y , …, y ) і задовольняє умові Ліпшица по змінним, починаючи від другої, тобто

| f(x, y , )-f(x,z , )|≤N∑| |, для будь-яких (), ().

Тоді існує окіл точки x , у середині якого задача Коші має єдине рішення.

Доведення теореми зводиться до доведення теореми існування та єдиності розв’язку відповідної системи. Отже f (x, y , )=y , i=1,…,n-1, f (x, y , )=f(x, y , ). В силу умови теореми та виду f i=1,…,n-1 всі умови теореми про існування та єдиність розв’язку системи виконуються. Таким чином, задача Коші для рівняння n-го порядку має єдине рішення.

Зауваження. Умова Ліпшица буде виконуватися якщо похідні i=0,…,n-1

1)Розглянемо рівняння F(x, )=0 . Тоді заміна z= понижає порядок рівняння на k одиниць. Перевірити самостійно.

2) Розглянемо рівняння F(y,y′,…y )=0.

Заміна z(y)=y′ (y′′=y z (y)=zz , y′′′ = , …) знижує порядок рівняння на одиницю.

3) Однорідне рівняння F(x, y, y′,…y )=0, тобто рівняння у якого функція F(x, y, y′,…y ) задовольняє умові: для довільного k F(x,ky,ky′,…,ky )= F(x,y,y′,…y ), дер порядок однорідності. Розглянемо однорідне рівняння F(x, y, y′,…y )=0, тоді заміна y= , де z(x) невідома функція, знижує порядок рівняння на одиницю.

Дата добавления: 2017-01-13