Системи диференціальних рівнянь. Теорема існування та єдиності

Лекція №5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші. Рівняння п-го порядку

Задачі для самостійної роботи.

Задачі.

Практичне заняття №4. Рівняння Клеро

Необхідні відомості: 1. Особливі точки та рішення.

2. Означення огибаючої сімейства кривих та спосіб їх знаходження.

3. Рівняння Клеро та Лагранжа.

Знайти загальні й особливі рішення рівнянь Клеро.

1.

2.

3.

4.

5. Площа трикутника, утвореного дотичній до шуканої лінії й осями координат, є величина постійна. Знайти лінію. 6. Знайти лінію, дотичні до якої відтинають на осях координат відрізки, сума яких дорівнює 2а.

Знайти особливі рішення рівнянь, застосовуючи той же прийом, який використовується у випадку рівнянь Клеро.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. Знайти лінію, для якої площа прямокутника, що має сторонами дотичну й нормаль у будь-якій точці, дорівнює площі прямокутника зі сторонами, рівними по довжині абсцисі й ординаті цієї точки.

10. Знайти лінію, для якої добуток відстаней будь-якій дотичній до двох даних точок постійний.

Означення. Система рівнянь

де х незалежна змінна, невідомі функції від х, а - похідні відповідно, називається системоюдиференціальних рівнянь першого порядку.

Означення. Набір функцій () будемо називати рішенням системи, якщо при підстановці в систему диференціальних рівнянь отримаємо вірні тотожності.

Розглянемо задачу: знайти рішення системи

, що задовольняє умовам ,…, така задача називається задачею Коші для системи рівнянь.

Теорема (існування та єдиності). Нехай функції f (х, ),…,f (х, ) визначені і неперервні на області і по змінним задовольняють умові Ліпшица, тобто |f (х, )-f (х, )|≤N | |, для будь-яких () і ().Тоді існує h таке, що для х , задача Коші має єдине рішення, графік якого не виходить з області D; h<max(a, ), (| f |≤M, ).

Доведення теореми аналогічно доведенню теореми існування та єдиності для одного рівняння. Різниця лише у тому, що замість функції розглядаються набори функцій () і відповідно - простір неперервних наборів графіки яких не виходять за межі області D.

Зауважимо, що умова Ліпшица буде виконуватися, якщо всі похідні (i,j=1,…,n) обмежені на області D.

Дата добавления: 2017-01-13