Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Системи лінійно незалежних функцій




Означення. Функції y ,…,y називаються лінійно залежними на множині Х, якщо існує набір чисел α …α , не всі з яких дорівнюють нулю, таких, що α +…+α ≡0 для будь-яких х є Х.

Якщо це визначення не виконується, то функції y ,…,y називаються лінійно незалежними.

Приклад (лінійно незалежних). Функції 1,х,...,х на [a;b] лінійно незалежні. Якщо допустити, що вони залежні, то (не всі рівні 0) такі, що α х…+α х 0 для всіх х є [a;b], а це протиріччя основної теореми алгебри. Значить функції 1,х,...,х на [a;b] лінійно незалежні.

Теорема. Нехай дана система лінійно залежних функцій y ,…,y на множині Х. Тоді визначник Вронского:

на множині Х.

Доведення. Оскільки y ,…,y лінійно залежні то існує набір α …α , не всі з яких дорівнюють нулю, для яких виконується тотожність , тоді y ,…,y задовольняють системі

, для будь-якого х є Х.

Система відносно (α …α ) має не тривіальне рішення для будь-якого х є Х. Таким чином, з курсу алгебри маємо, що W(х)=0, х є Х.

Теорема. Нехай y ,…,y –лінійно незалежна система рішень однорідного лінійного рівняння y +p (x)y +…+p (x)y=0 такого, що – визначені і неперервні на [a;b]. Тоді для будь-якого х є [a;b] визначник Вронского відмінний від нуля W(х) 0.

Доведення. Припустимо противне, що в деякій точці x є[a;b] W(х )=0. Візьмемо функцію у= , де α …α –довільні константи, тоді у - рішення даного рівняння.

Розглянемо систему:

Для даної системи W(х )=0, виходить, система має нетривіальне рішення, тобто існує набір α …α , для якого не всі α дорівнюють нулю і такий, що задовольняє системі. Розглянемо у, коли в якості (α …α ) узято указане нетривіальне рішення системи, тоді маємо

.

Таким чином, у= є нетривіальним рішенням рівняння з нульовими початковими умовами у точці . Зазначимо, що функція у 0 задовольняє нульовим початковим умовам і рівнянню. Оскільки коефіцієнти рівняння задовольняють теоремі про існування та єдиності рішення, то у= , що протирічить лінійній незалежності таким чином наше припущення не вірно, тобто W(х) 0 для будь-якого х є [a;b].

Теорема. Нехай дане лінійне однорідне рівняння: y +p (x) y +…+p (x)y=0, де p …p –визначені і неперервні на [ a;b ], –лінійно незалежна система рішень даного рівняння, тоді у=с +…+с , де с – довільні константи, є загальним рішенням даного рівняння.

Доведення. Зразу відмітимо, що згідно властивостей рішень лінійного однорідного рівняння у=с +…+с - рішення рівняння. Покажемо, що рішення будь-якої задачі Коші для даного рівняння можна отримати з рішення у=с +…+с , якщо взяти відповідні значення с . Нехай в будь-якій точці є[a;b] задані довільні початкові умови

.

Підставляючи замість у його значення, отримаємо

Визначник даної системи є визначник Вронского і W( ) 0, в силу попередньої теореми, отже система має нетривіальне рішення, підставляючи яке в у одержимо шукане рішення задачі.

Наслідок. Лінійне однорідне рівняння n-го порядку має n-лінійно незалежних рішень.

Означення. Будь-який набір з n-лінійно незалежних рішень лінійного однорідного рівняння називається фундаментальною системою рішень.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2017-01-13; Просмотров: 386; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.