Класифікація рівнянь

Визначення рівняння другого порядку з двома змінними у частинних похідних.

Лекція №10. Класифікація рівнянь у частинних похідних другого порядку. Диференційні рівняння з двома змінними

Означення. Співвідношення , де х, у незалежні змінні, а и, , функція від х,у, та її частинні похідні,називається рівняння у частинних похідних другого порядку з двома невідомими.

Рівняння називається лінійним відносно старших похідних, якщо воно має вид:

, де а₁₁,а₂₁,а₂₂ – функції від х,у.

Рівняння називається лінійним, якщо воно лінійне відносно всіх похідних

,

де коефіцієнти – функції від х,у.

Якщо f(x,y)=0, то рівняння називається однорідним.

За допомогою перетворень ξ=φ(х,у) η=ψ(х,у) (що має обернене) ми отримаємо нове рівняння еквівалентне даному. Спробуємо спростити рівняння за допомогою переходу до нових змінних.

Враховуючи що:

u_x=u _ξ ξ_x+u _η η_x

u_y= u _ξ ξ_y+u _η η_y

u_yy – має вигляд u_хх при заміні х на у.

Підставивши в рівняння (*), отримаємо:

при цьому як і не залежать від других похідних (в випадках лінійного рівняння воно залишається лінійним).

Виберемо ξ та η, щоб .

Розглянемо рівняння з частковими похідними першого порядку . Якщо - який-небудь розв’язок цього рівняння, то припускаючи отримаємо, що , тобто спрощене рівняння другого порядку зв’язано з розв’язком рівняння першого порядку.

Теорема. Якщо розв’язок рівняння (**) , то - загальний інтеграл звичайного диференційного рівняння .

Навпаки, якщо загальний інтеграл вказаного звичайного диференційного рівняння, то функція - розв’язок диференційного рівняння в часткових похідних першого порядку (**).

Доведення. Якщо - розв’язок рівняння (**), то рівність являється тотожністю:

Розглядаючи співвідношення маємо, що у – неявно задана функція і .

Підставивши в тотожність отримаємо:

,

тобто - загальний інтеграл вказаного звичайного диференційного рівняння.

Нехай тепер - загальний інтеграл звичайного диференційного рівняння. Покажемо, що .

Нехай яка-небудь точка. Проведемо через інтегральну криву звичайного диференційного рівняння, припускаючи що і розглянемо криву . Для всіх точок цієї кривої

.

Припускаючи що отримаємо

, а оскільки - довільна точка то рівність виконується для всіх (х,у). Що і треба було довести.

Означення. Рівняння називається характеристичним для диференційного рівняння другого порядку в частинних похідних, а його інтеграли – характеристиками.

Припустимо (φ – загальний інтеграл характеристичного рівняння) ми отримаємо, що . Якщо являється іншим загальним інтегралом (незалежним від φ), то припускаючи що ми отримаємо, що і .

Очевидно, що характеристичне рівняння розпадається на два рівняння

(***)

.

Знак підкорінного виразу визначає тип рівняння

.

1. Якщо в точці М(х,у), то рівняння називається рівнянням гіперболічного типу.

2. Якщо в точці М(х,у), то рівняння називається рівнянням еліптичного типу.

3. Якщо в точці М(х,у), то рівняння називається рівнянням параболічного типу.

Розглянемо кожну ситуацію окремо.

1. , тоді праві частини (***) дійсні і різні. Розв’язуючи рівняння (***) отримаємо незалежні загальні інтеграли та . Припускаючи приводимо рівняння другого порядку до виду .

Припускаючи , де нові змінні і враховуючи, що , , рівняння набуває вигляду .

2. , тоді рівняння (***) має один розв’язок . Покладемо та - довільна функція. Тоді

.

Таким чином, рівняння другого порядку прийме вид .

3. . Нехай - комплексний інтеграл першого рівняння (***). Тоді - інтеграл спряженого рівняння 2 з (***). Покладемо

тоді еліптичне рівняння приводяться до того ж виду що й гіперболічне. Замінимо тобто . Вводячи заміну, отримаємо рівняння .

Отже, рівняння другого порядку у частинних похідних з двома змінними (за допомогою заміни незалежних змінних) завжди можна привести до одного з трьох канонічних виглядів:

1. (гіперболічний тип) або

2. (еліптичний тип)

3. (параболічний тип)

Зауваження. Подібна класифікація має місце і для рівнянь другого порядку з багатьма змінними.

Приклад. Привести до канонічного виду .

а₁₁=1, а₁₂=0, а₂₂=х і .

1. Якщо х>0 рівняння еліптичне.

2. Якщо х<0 рівняння гіперболічне.

3. Якщо х=0 рівняння параболічне.

1. х>0,

. Отже .

Тоді і

,

Підставивши в рівняння отримаємо:

, або

- еліптичне рівняння

2. х=0 у=с. Отже .

Тоді - довільна і

,

Рівняння прийме вид (після заміни)

(в х=0), - параболічне рівняння.

Випадок 3 аналогічний 1.

Зауваження. У випадку постійних коефіцієнтів в лінійному рівнянні

після переходу до змінних ξ, η рівняння, якого б виду воно не було, можна спростити, звільнившись від похідних першого порядку, за допомогою заміни де - невизначені коефіцієнти, вибираючи які відповідним чином, (щоб знищити 2 коефіцієнти), отримаємо рівняння виду:

(еліптичне)

(параболічне)

Дата добавления: 2017-01-13