Теоремы сложения, умножения вероятностей

Действия над событиями

Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном выполнении события и события :

.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Суммой двух событий и называется событие , состоящее в выполнении события или события , или обоих вместе:

.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Если сумма двух событий – достоверное событие, а их произведение – невозможное событие, то эти события называются противоположными. Противоположные события будем обозначать и .

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема. Если события А_{1, …,} А_n попарно несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А₁+… + А_n)=Р(А₁)+… +Р(А_n).

Теорема. Если события А_{1, …,} А_n образуют множество элементарных событий, то сумма их вероятностей равна единице. Р(А₁)+… +Р(А_n)=1.

Теорема. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1. Р(А)+Р()=1.

Теорема. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности наступления первого события на условную вероятность наступления второго события, вычисленную в предположении, что первое событие имеет место.

Если события А и В независимы, то

Пример 3. Найти вероятность двукратного извлечения белого шара из урны, в которой из 12 шаров имеется 7 белых: а) если вынутый шар возвращается обратно в урну, б) если вынутый шар не возвращается в урну.

Решение. а) Р(АВ)=Р(А)Р(В)=49/144. б) Р(АВ)=7/12 6/11=7/22.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Пример 4. Вероятности попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудий равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания в цель при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Р(А+В)=0,7+0,8-0,7*0,8=0,94.

Дата добавления: 2017-01-13