Тема 10. Решение системы двух уравнений с двумя переменными

Теория

Практика

Решить систему уравнений – значит найти множество её решений. Решением системы двух уравнений с двумя переменными является пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство. Системы уравнений с двумя переменными можно решать: а) графическим способом; б) способом подстановки; в) способом сложения (вычитания). Выбор способа решения зависит от уравнений, входящих в систему. Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы. Способ подстановки «хорош» при решении систем, когда одно из уравнений является уравнением первой степени. Полезно помнить алгоритм решения этим способом: 1.Из уравнения первой степени выражают одну переменную через другую. 2.Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени 3.Решают получившееся уравнение. 4. Находят соответствующие значения второй переменной. Способом сложения лучше пользоваться в случае, когда оба уравнения системы есть уравнения второй степени.

1. Решим систему уравнений Решение: Выразим из второго уравнения переменную x через y: . Подставим в первое уравнение вместо x выражение , получим уравнение с переменной y: . После упрощения получим равносильное уравнение . Решив его, найдем, что , . Подставив в формулу , получим: . Подставив в формулу ; , получим: .;Итак система имеет два решения:   , и , . Ответ можно записать также в виде пар: , . Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти ее решения обычно бывает трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить, используя способ подстановки или способ сложения.   2. Решим систему уравнений Решение: Т.К. , выразим из второго уравнения переменную y через x: .; Подставим в первое уравнение вместо y выражение . Получим уравнение относительно x: . , . По формуле находим y: , . Значит, система имеет два решения: , и , . Ответ: , .   3. Вычислите координаты точки В. Решение. Точка В является пересечением прямых и . Решив систему , найдем, что ; .   Ответ: В (-3,4;0,4).   4. Решите систему уравнений . Решение. Преобразуем второе уравнение системы к виду . Подставим в него . Выполнив преобразования, получим систему: . Решив эту систему, получим: (-2;6), (3;-4).   Ответ: (-2;6), (3;-4). Возможна запись ответа в другом виде: , , , , или и . Другое возможное решение. Выразим из первого уравнения одну из переменных через другую, например, . Подставим во второе уравнение системы, получим уравнение . После преобразований получим квадратное уравнение . Найдем корни данного уравнения и соответствующие значения y, получим: (-2;6), (3;-4).

Тема 11 Составление уравнения по условию текстовой задачи

Теория

Практика

Решение сложных задачцелесообразно начать с повторения алгоритмарешения системы уравнений с 2-мя неизвестными: -Обозначить неизвестную величину переменной (при решении задачи с помощью системы уравнения вводят несколько переменных); -Выразить через нее другие величины; -Составить уравнение (или систему уравнений), показывающее зависимость неизвестной величины от других величин; -Решить уравнение (или систему уравнений); -Сделать проверку при необходимости; -Выбрать из решений (или систему уравнений) те которые подходят по смыслу задачи; -Оформить ответ. 2. Задачи на движение по реке. При решении задач на движение по реке необходимо учесть, что , где: – скорость по течению реки; – скорость объекта при движении против течения реки; – собственная скорость движущегося объекта; – скорость течения реки.

1. Расстояние между двумя причалами по реке 14 км. На путь против течения реки лодка затратила на 1 ч больше, чем на обратный путь по течению. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч. Обозначьте буквой х собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи. 1) 2) 3) 4) Решение. x (км/ч) — собственная скорость лодки, тогда (км/ч) — скорость по течению, (км/ч) — скорость против течения. Расстояние между причалами 14 км, следовательно, (ч) — время движения лодки по течению; (ч) — время движения лодки против течения. Время движения лодки против течения больше, чем по течению, на 1 час, поэтому составим уравнение: . Ответ: 2. 2. Прочитайте задачу: «От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за 5 ч. На мопеде он мог бы проехать это расстояние за 3 ч. Известно, что на мопеде он едет со скоростью на 8 км/ч больше, чем на велосипеде. Чему равно расстояние от турбазы до станции?» Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено расстояние (в км) от турбазы до станции. 1) 3) 2) 4) Решение. Пусть х км — расстояние от турбазы до станции. Тогда км/ч — скорость, с которой турист едет на велосипеде; км/ч — скорость, с которой турист едет на мопеде. Известно, что скорость на мопеде на 8 км/ч больше скорости на велосипеде: запишем уравнение . Уравнение может быть записано и в другом виде, например, , но его легко преобразовать к виду: . Ответ: 3.

Дата добавления: 2017-01-13