Тура жол алгоритмі 5 страница

y=e^x функциясының мәндері кесте да келтірілген. X=1.17, x=1.13 нүктелеріндегі мәндерді анықтау керек.

Шешімі:

Шектік айырымдарды анықтау 10-кестесін құрамыз.

10-кесте. y=e^x функциясының мәндері және шектік айырымдары.

i	xi	yi
-3	1.00	2.7183
-2	1.05	2.8577
-1	1.10	3.0042
	1.15	3.1582
	1.20	3.3201
	1.25	3.4903
	1.30	3.6693

3-ретті шектік айырымдар тұрақтана бастағандықтан кесте ны осы арада тоқтатамыз. 1,17 нүктесіндегі мәнді есептеу үшін Гаусстың 1-формуласын қолданамыз, себебі, ол нүкте х₀ нүктесінен артық. Q=0.4 болады. Гаусстың 1-формуласына кестедегі мәндерді қоямыз: сонда

e^1.13 дәрежесін есептеу үшін Гаусстың екінші формуласын қолданамыз, себебі 1,13 нүктесі х₀ нүктесінен кіші:

Стирлингтің және Бессельдің интерполяциялық көпмүшеліктері

Стирлингтің формуласы Гаусс формулаларының арифметикалық ортасы болып табылады. болған жағдайда қолданылады:

(4.15)

Егер шартын қанағаттандырса, Бессель формуласын қолдануға болады:

(4.16)

Қалдық мүшесі келесі түрде жазылады:

,

мұндағы .

Бессель полиномын кестелік мәндерді тығыздау үшін де қолданады.

8-ДӘРІС. Интегралдаудың сандық әдістері.

1. Ньютон-Котес квадратуралық формулалары.

2. Трапеция, симпсон формулалары қателіктерін бағалау.

3. L₂ кеңістігіндегі ең жоғарғы дәлдіктегі Гаусс формуласы.

4. Кездейсоқ шаманы берілген таралу заңдылығы бойынша моделдеу.

5. Еселі интегралдар үшін Монте-Карло әдісі.

Сандық интегралдау инженерлік және ғылыми деректерді анализдеу немесе сараптау үшін қажетті. Интегралды классикалық әдістермен аналитикалық түрде алу мүмкін болмаған жағдайларда сандық интегралдау есебі қойылады. Кейде интеграл астындағы функция өте күрделі, кейде функцияның таблицалық мәндері ғана берілуі мүмкін.

Сандық интегралдауды сандық квадратура деп те атайды. Ал қолданылатын формулалар квадратуралық формулалар деп аталады.

Сандық интегралдау да дәл және жуықтау болып екіге бөлінеді.

Егер абсцисса өсі бойынан алынатын нүктелер бірқалыпты орналасатын болса, онда Ньютон – Котестің дәл квадратуралық формулалары қолданылады, басқа жағдайда жуықтау – Гаусс формулалары қолданылады.

Сандық интегралдаудың негізгі идеясы - интеграл астындағы функцияны [a,b] аралығында интерполяциялық полиномға жіктеу және полиномның әр мүшесін интегралдау арқылы есептеу процесін жеңілдету.

Интегралдың қателігін төмендету үшін интеграл астындағы функция анықталған [a,b] аралығы h қадаммен бірнеше аралыққа бөлу керек: x_i+1-x_i=h, i=1,2,…,n-1. Қадам тұрақты болған жағдайды қарастырайық.

(1)

түрдегі интеграл берілсін. Дәл әдістерге Ньютон-Котес квадратуралық формулалары жататыны жоғарыда айтылған.

1. Трапеция әдісі.

Егер n=1 болса квадратуралық формула трапеция әдісі деп аталады. Әдіс бойынша; интегралдық қисық пен ох өсі аралығындағы фигура ауданын табу үшін сол фигураны трапециямен толықтырып, ауданын табуға болады:

(2)

Қателікті азайту үшін аралықты бірнеше бөлікке бөліп әр трапецияның ауданын тауып барлығының қосындысы берілген интегралдың мәні деуге болады:

(3)

Мұндағы

, (4)

.

(4)-формула әдістің қателігін бағалау формуласы деп аталады. Геометриялық мағынасы трапециямен толықтырылған уақытта осы облысқа кірмей қалған аймақтардың қосындысы, кейде оны қиылу қателігі де дейді. Оның мәні өте аз шама болуы керек.

2. Симпсон әдісі.

N=2 болса Ньютон – Котес формуласы Симпсон әдісін аныќтайды. [a,b] аралығын екі симметриялы бөлікке бөледі: нүктелері болса, аралыќ жұп болады, есептеу формуласы:

(5)

Онда есептеу ќателігі 16-ға азаяды. Ал бөлу аралығы таќ болса, онда [a,b] аралыќтың алғашќы үш бөлігінен үшінші дәрежелі парабола жүргізнміз, бұл жағдайда Симпсоннның үштен сегіздік формуласы ќолданылады:

3.Тіктөртбұрыштар әдісі.

[a,b] аралығынан х₀ бір түйін алатын болсақ, чғни f(x)=const болады, онда қарастырып отырған аралықта деуге болады. Х₀ нүктесін аралықтың тура ортаңғы нүктесі деп алсақ формуласы шығады, оны тіктөртбұрыштар формуласы дейді, әдістің қателігін азайту мақсатында аралықты бірнеше бөлікке бөліп, әр аралықты тіктөртбұрышпен толтырып, ауданын тауып, барлық аудандарды бір біріне қосады:

(6)

Гаусстың квадратуралыќ формулалары

Бұл әдісте х айнымалысын өрнекпен алмастырады: . Сонда Гаусс формуласы былай жазылады:

(5.11)

мұндағы , ал ,

Бұл әдістің ыңғайсыздығы, абсциссадағы мәндер мен коэффициенттер иррационал сандар. Біраќ соған ќарамай интегралдау түйіндерінің саны аз болса да, дәлдігі жоғары.

Абсциссадағы мәндер мен коэффиценттер мүмкін, жоғары дәрежелі көпмүшеліктердің барлығы үшін (5.11)-формула дұрыс болатындай етіп таңдалынып алуы керек. сандары N=2n-1 болғанда бірмәнді болатыны дәлелденген.

мәндерін аныќтау үшін Лежандр көпмүшелігі ќолданылады:

Ал -лерді табу үшін төмендегі жүйе шешіледі:

(5.11.1^’)

Бұл жүйені шешу барысында коэффициенттерді төмендегі 14-кесте көмегімен де аныќтауға болады.

14-кесте. (5.11.1^’)-жүйені шешу барысында анықталған

коэффициенттер.

n	I	ti	Ai
	1;2
	1;3
	1;4 2;3		0.34785484 0.65214516
	1;5 2;4		0.23692688 0.47862868 0.56888889

Мысалы:

N=5 болғанда интегралын Гаусс формуласымен есептеу керек болсын. Айнымалыны ауыстырамыз: . Сонда интеграл мына түрге келеді:

; (5.12)

;

x=0 болғанда t=-1;

x=1 болғанда t=1;

Интеграл астындағы функцияның мәндер кесте сын ќұрамыз:

Алынған мәндерді (4)-ќою арќылы интегралды есептейміз:

.

Канторовичтің интеграл астындағы функцияның ерекшелігін айшыќтау әдісі

Бұл әдістің негізгі идеясы f(x) функциясынан әлдебір g(x) функциясын бөліп алады да f(x)-g(x) айырымынан интеграл алады, мұндағы f(x)-элементарлы интегралданатын болуы керек, ал g(x) – сандыќ әдістердің біреуімен интегралданатын болуы керек:

(5.7)

Бұл әдіс интеграл астындағы функция келесі түрде берілген жағдайда ќолданылады:

Мұндағы функциясы [a,b] аралығында үзіліссіз дифференциалданатын функция болсын. Онда бұл функцияны Тейлор ќатарына жіктеуге болады. Тейлор ќатарына жіктелген функция түрін деп белгілесек:

болады. Сонда айырманы деп ќарастыруға болады.

Мысалы: ;

Интеграл астындағы функияны келесі түрде жазып алуға болады:

. Онда болады. Бұл функцияны Тейлор ќатарына жіктеуге болады:

. Онда: , болады.

Дәрежелік ќатарлар көмегімен интегралдау әдісі

Интеграл астындағы функция [a,b] аралығы жатќан (-R,+R) интервалында жинаќталатын дәрежелік ќатарға жіктелетін болсын:

(5.8)

Дәрежелік ќатарды мүшелеп интегралдауға болады, сонда:

(5.9)

Егер (5.9)-ќатар жинаќты болса, онда (5.10)

Әдіс ќателігі ќатар ќалдығы мен дөңгелектеу ќателігінен тұрады.

Егер ќатардың таңбасы ауыспалы және абсолютті шамасы бойынша монотонды кемімелі болса, онда ќатар ќалдығы тасталатын (отбрасываемый) ќатар мүшелерінің ең біріншісінің абсолют ќателігінен аспайды.

Басќа жағдайларда ќатар ќалдығын бағалау үшін ќатарлары жеңіл бағаланатын сандыќ ќатарлармен мажорлайды.

Мысал:

Интеграл астындағы функция дәрежелік ќатарға жіктеледі және кез келген х үшін жинаќталады:

Ќатардың үшінші мүшесінен бастап ќалған мүшелерін тастап кетуге болады, себебі олар нөлге өте жуыќ.

Интегралдау ќадамдарын таңдау.

Берілген интегралды сандыќ әдістердің ќайсысымен болса да шешу уаќытында берілген дәлдікті ќамтамасыз ететін ќадам таңдау керек. Кейде интегралдау аралығын бірнеше бөлікке бөлу барысында дөңгелектеу, есептеу ќателіктері өсуі мүмкін. Мұндай ыңғайсыздыќќа ұшырамас үшін интегралдау ќадамын дұрыс таңдау керек. Практикада интегралдау ќадамын 2 тәсілмен таңдайды:

1 Ќалдыќ мүшені бағалау арќылы

2 Екілік есептеу арќылы.

1-тәсілде берілген интегралды шешуге тиімді бір сандыќ әдісті таңдап алып, сол әдістің ќалдыќ мүшесінің формуласын

(5.13)

бағалау арќылы h –ты аныќтайды.

Мысалы:

Трапеция әдісін таңдайыќ. Ол әдістің ќалдыќ мүшесінің формуласы:

.

;

Табылған мәндерді формуласына ќойып (5.13)-бағалауды баќылаймыз, сонда екендігі табылады. Енді ќадамды табуға болады: . Трапеция формуласына ќойсаќ: .

2-тәсілде берілген интеграл h ќадаммен аралыќты n рет бөледі және ќадаммен аралыќты 2n рет бөледі де екі рет есептеледі. алынған интегралдарды сәйкесінше және деп белгілесек, шарты орындалса, онда деп есептеуге болады, мұндағы I – интегралдың дәл мәні. Егер бұл шарт орындалмаса, онда ќадамды тағы да 2-ге кішірейтеді.

Интегралдау ќадамы берілмеген есептерде, алғашќы ќадамды санына жуыќ сан ретінде алуға болады, мұндағы m=2 трапеция формуласы үшін, m=4 – Симпсон формуласы үшін. Бұл тәсіл есепті ЭЕМ көмегімен шешу кезінде ќадамды автоматты түрде компьютер таңдайтындай жағдай тудырады және бірмезгілде есептеу ќадамдары да баќыланып отырады.

9-ДӘРІС. Кәдімгі дифференциалдық теңдеулердің (КДТ) сандық әдістері.

1. КДТ-ның шешімі.

2. Шешімнің бастапқы деректермен оң жағына ұзіліссіз тәуелсіздігі.

3. КДТ үшін Эйлер схемасы.

4. Аппроксимация реті, жинақталуы.

5. КДТ үшін Рунге-Кутта әдісі.

6. Көп қадамды әдістер.

7. Қос қадамды, төртқадамды Адамс әдістері.

Дәріс тезисі:

1-ретті ќарапайым дифференциалдыќ теңдеу (ЌДТ) жалпы түрде келесідей жазылады:

(1)

Бұл теңдеуге ќатысты негізгі есеп Коши есебі деп аталады: (1)-теңдеудің

y(x₀) = y₀ (2)

бастапќы шартты ќанағаттандыратын

y=y(x) (3)

түріндегі шешімін табу.

Басќа сөзбен айтќанда координаттары M₀(x₀,y₀) нүктесінен өтетін (3) - интегралдыќ ќисыќты табу керек.

Егер (1)-дің оң жағындағы функциясы R облысында аныќталған және

теңсіздігімен аныќталса, онда , (h –тұраќты сан) аймағында (2) – бастапќы шартты ќанағаттандыратын (3)- түріндегі болмағанда бір түбір табылады. Бұл шешім жалғыз болады, егер R облысында Липшиц шарты орындалса, мұндағы N –a мен b-дан тәуелді Липшиц тұраќтысы. Егер R облысында туындысы бар болса, онда .

n–ші ретті дифференциалдыќ теңдеу үшін Коши есебі

мұндағы – берілген сандар, шарттарын ќанағаттандыратын (3)-түрдегі шешімді табу керек деп ќойылады.

Егер х-ті уақыт деп қарастырсақ, ал у₁,…,у_n – әлдебір механикалық жүйенің жалпылама координаттары десек, онда Коши есебінің келемі аспектісін аламыз: механикалық жүйені басқаратын дифференциалдық теңдеуді біле отырып, сондай-ақ оның бастапқы х₀ уақыт моментіндегі күйін біле отырып, жүйенің кез келген х уақыт моментіндегі күйін анықтау керек болады.

Мұндай есепті шешудің сандық әдістері екіге бөлінеді:

1. Бірқадамды сандық әдістер – y=f(x) қисығында келесі нүктедегі функция мәнін табу үшін оның алдындағы бір ғана қадамдағы мән берілген жағдайда қолданылады. Оларға – Рунге-Кутта, Эйлер, Эйлер-Коши әдістері жатады.
2. Көпқадамды сандық әдістер - y=f(x) қисығында келесі нүктедегі функция мәнін табу үшін оның алдындағы бірнеше қадамдардағы (нүктелердегі) мәндер берілген жағдайда немесе мәндер таблицасын толықтыру жағдайында қолданылады. Оларға жататындар – Адамс, Милн әдістері.

1. Эйлер әдісі.

Коши есебін шешудің бұл әдісі бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді интегралдауға мүмкіндік береді. Бұл әдістің дәлдігі төмен. Сондықтан практикада көп қолданылмайды. Бірақ бұл әдістің негізінде басқа тиімді, бірақ күрделі әдістерді меңгеру жеңілдейді.

(1)-(2) Коши есебі берілсін.

Геометриялық мағынасы: һ қадам таңдап алып берілген аралықта бірдей қадаммен нүктелер жиынын құраймыз:

x_i=x₀+ih (i=0,1,2,…). (4)

M₀(x₀,y₀) нүктесінен өтетін ізделінді y=y(x) интегралдық қисықты төбелері M_i (x_i,y_i) (i=0,1,2,…) болатын Эйлер сынықтарымен M₀M₁M₂… алмастырылады:

(5)

Әрбір M_iM_i+1 сынықтары бағыты M_i нүктелерінен өтетін (1)-теңдеумен берілген интегралдық қисықтың бағытымен беттеседі.

Сонда есептеу формуласы келесі түрде жазылады:

Y_i+1=y_i+Dy_i, (6)

Dy_i=hf(x_i,y_i) (i=0,1,2,…)

2. Эйлер – Коши әдісі.

Бастапқы нүктедегі ақиқат қисыққа жанама көлбеуі бұрышының тангенсі белгілі және -ға тең болса да, ол тәуелсіз айнымалының өзгеруіне байланысты өзгеріп отырады. Сондықтан x₀+h нүктесінде жанама көлбеуі x₀ нүктесіндегі жанама көлбеуіндей болмайды. Осыдан, h интервалында бастапқы жанама көлбеуін сақтай отырып есептеу барысында қателік пайда болады. Эйлер әдісінің дәлдігін арттыру үшін туынды аппроксимациясын жақсарту керек, яғни интервалдың бастапқы және соңғы нүктелерінде туындының орта мәнін алуға болады. Бұл әдісті Эйлер – Коши әдісі дейді. Бұл әдісте алдымен Эйлер формуласы қолданылады:

, i=0,1,2,… Сосын осы мәнді интервал соңындағы туынды мәнін жуықтап есептеуге қолданады. Табылған екі мәннің ортасын анықтап, дәл мәнге өте жуық мән аламыз, бұл формула Эйлер – Коши формуласы деп аталады:

(8)

3. Рунге-Кутта әдісі.

Бұл әдіс те бірқадамды әдіске жатады.

(1)

(2)

(1)-теңдеу екі өлшемді қарапайым дифференциалдық теңдеу (ҚДТ) және (2)-бастапқы шарт берілсін. [x₀, x_n] аралығында у-тің мәндерін анықтап, функция графигін сызу керек болсын.

нүктелерінде мәндерін Рунге-Кутта формуласымен табамыз:

Мұндағы К аралық сандары төмендегідей табылады:

ҚДТ-ді шешудің көпқадамды сандық әдістері.

1. Адамс әдісі

2. Милн әдісі

Дәріс тезисі:

Дата добавления: 2017-01-14