Тура жол алгоритмі 8 страница

Дифференциалдық теңдеулер теориясында шекаралық шарттарға байланысты (5)-теңдеуіне үш түрлі есеп қойылады.

1.Дирихле есебі. (5)теңдеунің G облысында анықталған, ал Г шекарасында =g(p) шартын қанағаттандыратын шешімін табу керек. Мұндағы ал -да анықталған белгілі функция.

2.Нейман есебі. (5)-теңдеуінің –да анықталған, ал -да шартын қанағаттандыратын шешімін табу керек. Мұндағы - сыртқы нормаль бойынша алынған туындысы.

3.Аралас шекаралық есеп-Ньютон есебі.(5)-теңдеуінің –да анықталған, ал -да шартын қанағаттандыратын шешімін табу керек. Мұндағы және -тәрізді белгілі функциялар.

Алдағы зерттеулерде шектелген облыс, ал оның шекарасы құрақты тегіс қисықтардан тұрады деп есептейміз.

Мұнда қойылған есептерді шешудің екі түрі келтіріледі:торлық және вариациялық әдістер. Осы әдістердің құру жолдарын, олардың қасиеттері мен айырымдық теңдеулерді шешу тәсілдерін зерттейік. Аталған әдістердің алгоритмдерін жете түсіну және меңгеру мақсатымен, көбінесе Пуассон теңдеуіне қойылған Дирихле есебін қарастырамыз.

1.2 Торлар әдісі

Айталық

(6)

теңдеуінің облысында анықталған және оның шекарасында

шартын қанағаттандыратын үзіліссіз шешімін табу керек делік.

Алдағы зерттеулерді жеңілдету үшін және - тұрақты сандар деп есептейміз.

1.2.1. Дифференциалдық теңдеулерді жуықтату

Алдымен координаттар басы облысында жатады деп есептейік. Кері жағдайда, тиісті алмастырулар арқылы болатын жаңа координаттар жүйесіне өту қиынға түспейді.

Торлар әдісін қолдануды облысында

айырымдық тор енгізуден бастаймыз. Мұндағы және шамалары және осьтері бойынша алынған тор қадамдары.

Енді 1-суретте көрсетілгендей және параллель түзулерін жүргіземіз де, облысын тораптардан тұратын –тор облысымен алмастырамыз. Мұндағы –ішкі, ал –шекаралық тораптар жиыны (1-сурет).

1-сурет.

2-сурет.

Содан кейін облысында –торлық функцияларын енгіземіз. Ары қарай облысының ішкі тораптарында 2-суретте көрсетілген үлгіге сәйкес, (6) теңдеудегі туындыларды келесі айырымдық операторлармен жуықтаймыз

Мұндағы:

жуықтау қаталіктері. Содан кейін (6) теңдеуіне жоғарыдағы туындылардың мәндерін қоямыз:

(7)

Мұнда

деп белгіленген. Берілген (6) теңдеуінің шешімі облысында анықталған және үзіліссіз дифференциалданатын және туындылары бар функция деп жориық та, келесі белгілеулерді енгізейік:

Сонда (7) теңдеуінің жуықтау қателігі былайша бағаланады:

Енді және торлық функцияларының нормаларын келесі түрде алайық:

Олай болса

(8)

яғни айырымдық операторы дифференциалдық операторын дәлдікпен жуықтайды.

Егер және қадамдарын мейлінше аз шамалар деп есептеп, қателігін (7) теңдігінен алып тастасақ, онда мынадай айырымдық теңдеу шығады:

(9)

(8) тұжырымына сәйкес (9) айырымдық теңдеуінің жуықтау дәлдігі .

Сандық әдістер теориясында (9) теңдеуінің шешімі дәл шешімінің торабындағы жуық мәні деп қабылданады.

1.2.2. Шекаралық шарттарды жуықтау

Егер тіктөртбұрыш немесе квадрат болса, онда айырымдық

торын шекаралық тораптар шекарасында жататындай етіп таңдап алу қиын емес. Ал бөлікті тегіс қисықтардан тұратын жағдайда, кейбір шекаралық тораптар -да жатпауы мүмкін(1-сурет). Әдетте айырымдық тор шекаралық тораптар мүмкіндігінше -да немесе -ға жақын жататындай етіп таңдап алынады. Бұл тұрғыдан қарағанда, төртбұрышты торларды пайдалану қолайлы болатыны сөзсіз. (5) теңдеудің шекаралық шартына сәйкес шешімі -да анықталған: . Біздің мақсатымыз (9) теңдеуінің шешімін шекарасында анықтау. Ол (9) теңдеудің шекаралық шартын жуықтату арқылы жүзеге асырылады.

Егер шекаралық тораптар түгелімен -да жататын болса , онда бұл мәселе оңай шешіледі. Мәселен, бұл жағдайда

(10)

болатыны анық. Ал керісінше, яғни болса, онда мәнін жуық шамамен анықтауға тура келеді. Бұл мәселе сандық әдістер теориясында әр түрлі жолдармен шешіледі. Біз солардың ішіндегі есептеу алгоритмдері жеңілдеу болатын екі түрін ғана қарастырамыз.

1. Көшіру әдісі. Бұл әдіс бойынша шекаралық нүктеде

(11)

деп қабылданады. Мұндағы нүктесі –ге ең жақын нүкте (1-сурет). Мұндай әдіс әдетте жай көшіру әдісі деп аталады. Ал оның жуықтау дәлдігі шамамен немесе . Мұны дәлелдеу үшін мына формуланы (3-сурет) пайдаланамыз:

3-сурет.

Егер

деп белгілесек, онда шекарасында әрбір нүктесінде

бағалауы орындалады.

2. 2-ретті жуықтау. Мұнда мәні немесе осьтері бойынша 2-ретті жуықтау арқылы анықталады. Мәселен, шекаралық нүкте горизонталь сызығының бойында жататын болса (3-сурет), онда

(12)

деп қарастырылады. Шынында да, алуымызға сәйкес ,демек, және .Ендеше

(13)

(14)

Мұндағы және -сәйкес және аралықтарында жатқан нүктелер (1-сурет). Ары қарай (14) теңдігінен шамасын анықтап, оны (13) өрнегіне қоямыз, сонда

.

Бұдан

Егер қадамы мейлінше аз шама, ал жеткілікті дәрежеде үзіліссіз дифференциалданатын функция деп есептеп, соңғы өрнектен шамасын алып тастасақ, онда (12) формуласы келіп шығады:

(15)

Бұл әдісті, әдетте, Коллатц әдісі деп атайды. Енді

(16)

шекаралық шартын жуықтату мәселесін қарастырайық.

Айталық, , ал осы –ке ең жақын шекаралық торап болсын. Сондай-ақ осы нүктеде -ға жүргізілген нормаль, ал және нормалының сәйкес және осьтерімен жасйтын бұрыштары делік(4-сурет).Нормалдың анықтамасы бойынша:

.

Жоруымыз сәйкес және -шекаралық торапқа ең жақын нүктелер. Олай болса және нүктелерінің ара қашықтығы шамамен немесе. Бұл жағдайда нүктесіндегі нормалының бағыты шекаралық торабында да сақталады, яғни

(17)

Мұндағы жуық теңдіктің қателігі немесе шамаларымен бағаланады.

4-сурет.

Енді (17) теңдігін пайдаланып, (12) шекаралық шартын торабында төмендегі формула арқылы жуықтаймыз:

және қадамдарын мейлінше аз, шамалар деп есептеп соңғы өрнектен мынадай айырымдық теңдік аламыз:

(18)

Мұндағы . Жоғарыда келтірілген (10),(15) және (18) өрнектері бір ғана шекаралық торап үшін жазылған. Негізінде осындай теңдіктер барлық шекаралық тораптар үшін де жазылуы тйіс. Нәтижесінде (5) шартын жуықтайтын айырымды шекаралық шарттар алынады. Егер бұларды (9) теңдеуімен біріктірсек, онда әрбір шекаралық есепке сәйкес келетін айырымды шекаралық есеп аламыз. Оны кейде айырымдық схема деп те атайды. Көбінесе бұл айырымдық схема-сызықтық алгебралық жүйе құрайды.

Айырымды шекаралық есептерді басқа да жолдармен, мәселен, анықталмаған коэффициенттер әдісімен де алуға болады. Сондай-ақ облысына байланысты тіктөртбұрышты тор орнына басқаша торлар алынуы мүмкін. Сонымен жуықтатулар нәтижесінде шекаралық есептер сызықтық алгебралық жүйелермен алмастырылады. Егер осы жүйелердің шешімдері бар болса, онда олар берілен шекаралық есептердің жуық шешімдері болып қабылдананады.

Алдағы зерттеулерде мынадай сұрақтарға жауап береміз:

1) Жуықтаулар нәтижесінде алынған айырымдық есептердің шешімдері бар ма?

2) Бар болса, олар қалай анықталады?

3) Жуық шешімдердің орнықтылығы туралы не айта аламыз?

4) Жуық шешімдер берілген шекаралық есептердің дәл шешімдеріне қаншалықты жақын болады Дәлірек айтқанда, айырымдық тордың қадамдары жағдайда жуық шешімі, дәл шешімге жинақтала ма, яғни әрбір торабында

Lim =

шегі орындала ма?

Есептеу әдістерәнің алгоритмдері ықшамды болуы үшін екінші мәселені талқылағанда –ны тіктөртбұрыш немесе квадрат деп аламыз.

1.2.3. Айырымдық есептер шешімдерінің бар болуы.

Алдымен Дирихле есебін жуықтайтын айырымдық есепті қарастырайық:

(19)

(20)

Бұл жерде параметрлерінде өзгеру шекаралары анықталмаған. Олар облысына және сонда енгізілген айырымдық торға байланысты өзгереді. Пуассон теңдеуін қарастырғанымызда, бұл мәселе өзінің нақты шешімін табады.

(19)-(20) айырымдық есебін басқаша түрде жазайық:

(21)

(22)

Мұнда

(23)

белгілеулері енгізілген.

Шекаралық есептің бастапқы берілген кезінде деп ұйғарылған болатын. Ендеше, және қадамдары мейлінше аз шамалар болғанда, (23) өрнегінен

(24)

теңсіздіктерінің келіп шығатыны анық. Алдағы зерттеулерде (24) шарттары орындалады деп есептейміз де, келесі теореманы дәлелдейміз.

Теорема-1. Егер қандай да бір торлық функция үшін ішкі тораптарында болса, онда функциясы –де оң минимумға ие бола алмайды.

Дәлелдеуі. Айталық, және -де L делік. Керісінше жориық: өзінің оң минимум мәніне ішкі торабында ие болсын және кемінде бір ) көрші торабында делік.Содан кейін

Дата добавления: 2017-01-14