Цепь с параллельным соединением электроприемников, содержащих активные, индуктивные и емкостные сопротивления

Пример 2

Цепь с последовательным соединением электроприемников, содержащая активное, индуктивное и емкостное сопротивления

На рисунке 17 в однофазную электрическую цепь переменного синусои­дального тока напряжением U=50В включены активные R₁=9Ом и R₂=11Ом и реактивные элементы, обладающие сопротивления­ми Х_L = 12Ом, X_C =27Ом.

Определить: ток I в цепи; напряжение на каждом элементе цепи; активные, реактивные и полное сопротивления; угол сдвига фаз между напряжением и током (по величине и знаку); активные и реактивные мощности элементов; активную, реактивную и полную мощности цепи.

Построить в масштабе векторную диаграмму напряжений. После построения диаграммы измерить вектор суммарного напряжения и убедиться в том, что с учетом масштаба его величина равна напряжению, подведенному к зажимам цепи

Рисунок 17 - Электрическая схема

Решение

1. Определяем полное сопротивление цепи

2. Определяем ток цепи

3. Определяем падение напряжения:

на активном сопротивлении R₁

на активном сопротивлении R₂

на индуктивном сопротивлении

на емкостном сопротивлении

4. Определяем угол сдвига фаз между напряжением и током

;

5. Определяем активную мощность цепи

6. Определяем реактивную мощность цепи

7. Определяем полную мощность цепи

8. Построение векторной диаграммы начинаем с выбора масштаба для тока и напряжения. Задаемся масштабом по току и по напряжению ;

Здесь и - масштабные коэффициенты. Они показывают, сколько ампер или вольт содержится в 1 см. Масштаб можно задавать и графически (см. рис. 18).

Порядок построения

От точки 0 горизонтально вправо проводим вектор тока I общий для всей цепи. В выбранном масштабе его длина будет

Рисунок 18 - Векторная диаграмма

Вектор активного напряжения совпадает по фазе с током, угол сдвига фаз между ними равен 0, поэтому откладываем его вдоль вектора тока от точки 0 вправо. В выбранном масштабе его длина будет

От конца вектора U_R1, откладываем вправо вдоль вектора тока вектор активного напряжения U_R2. Его длина будет

От конца вектора U_R2 откладываем вертикально вверх вектор падения напряжения на индуктивном сопротивлении U_L так как он опережает ток на угол 90°. Его длина будет

От конца вектора U_L откладываем вертикально вниз вектор падения напряжения U_С на емкостном сопротивлении, т.к. он отстает от тока угол 90°. Его длина будет

Геометрическая сумма векторов U_R1, U_R2, U_L и U_С должна быть равна полному напряжению U, приложенному к зажимам цепи, т.е.

Измерив длину этого вектора, убеждаемся, что она l_U = 5 см. Это значит, что с учетом масштаба его величина будет:

По условию задачи именно такое напряжение приложено к зажимам

цепи.

Примечание:

Если в выбранном масштабе вектор суммарного напряжения не будет равен приложенному к зажимам цепи напряжению, то это будет говорить об ошибке, допущенной в решении задачи или в построении векторной диаграммы. Ее нужно найти и устранить:

Чаще всего наблюдаются ошибки, связанные с искажение масштабов при построении векторной диаграммы. Учтите это, при построении векторной диаграммы пользуйтесь чертежным инструментом. Выполняйте диаграмму точно и аккуратно.

Комбинации сопротивлений электроприемников достаточно разнообразны, поэтому рассмотрим общие принципы расчета на примере параллельного соединения реальной индуктивной катушки и реального конденсатора (рис. 19)

Рисунок 19 - Параллельное соединение реальной индуктивной катушки и реального конденсатора

Для такой цепи характерно то, что электроприемники, соединенные параллельно, находятся под общим напряжением.

Ток каждой ветви определяется по закону

где Z- полное сопротивление ветви

и

Углы сдвига фаз φ₁ и φ₂ между током каждой ветви и напряжением определяются с помощью тригонометрических функций

; ;

Угол сдвига фаз обязательно следует проверять по синусу во избежание потери знака угла (косинус является четной функцией, но находить его тоже нужно. Он требуется в дальнейшем расчете цепи).

Общий ток цепи, как следует из первого закона Кирхгофа, равен геометрической сумме токов ветвей

На рис. 20 представлена векторная диаграмма этих токов.

Рисунок 20 – Векторная диаграмма токов

Общий суммарный или результирующий ток можно найти не только графически (в этом случае диаграмма должна быть построена в масштабе), но и математически, на основании теоремы Пифагора:

где: I_a - проекция вектора общего тока на вектор напряжений он называется

активной составляющей общего тока.

I_Р - проекция вектора общего тока на линию, перпендикулярную линии напряжения, она называется реактивной составляющей общего тока

Из диаграммы видно, что I_а = I_a1 + I_а2, I_p = - I_C1 + I_L2

В этих формулах:

I_a1 и I_а2 - активные составляющие токов первой и второй ветви.

I_С1 - реактивная составляющая тока первой ветви. Она носит емкостный характер и поэтому взята со знаком «минус»

I_L2 - реактивная составляющая тока второй ветви. Она носит индуктивный характер и поэтому взята со знаком «плюс»

Введем в формулу общего тока его составляющие, тогда:

Значение составляющих токов ветвей определить по формулам:

Активная мощность цепи равна арифметической сумме активных мощностей ветвей: Р = Р₁+Р₂,

или

или

Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей ветвей: Q =Q_L2 – Q_C1,

или

или

Активную и реактивную мощности цепи можно найти так:

или

или ,

где

и

cos φ и sin φ используют также для определения угла сдвига фаз между общим током и напряжением

Полная мощность цепи: или

Угол сдвига фаз φ между общим током и напряжением можно определить из выражения

и , а также и

cos φ и sin φ используется также для определения угла сдвига фаз между общим током и напряжением.

Дата добавления: 2017-01-14