Тема №2. Электрические цепи однофазного синусоидального тока 1 страница

2.1. Получение синусоидальной ЭДС, основные соотношения.

Электрические цепи, в которых величины и направления ЭДС, напряжения и тока периодически изменяются во времени по синусоидальному закону, называют цепями синусоидального тока или цепями переменного тока.

В генераторах электростанций возникающая в их обмотках ЭДС изменяется по синусоидальному закону. ЭДС в линейных цепях, где содержатся активные сопротивления, индуктивности и емкости, возбуждает ток, изменяющийся по закону синуса. Возбуждающиеся при этом ЭДС самоиндукции в катушках и напряжения на конденсаторах также изменяются по закону синуса, так как производная синусоидальной функции есть функция синусоидальная

.

Любая другая периодическая функция имеет производную, отличную от исходной.

Необходимость использования синусоидального тока обусловлена тем, что коэффициент полезного действия генераторов, двигателей, трансформаторов и линий электропередач получается большим по сравнению с несинусоидальным током. Кроме того, расчет цепей, где ЭДС напряжение и ток изменяются по закону синуса, значительно проще.

Рассмотрим получение ЭДС и основные соотношения, характерные для синусоидальной ЭДС. Для этого используем модель – проводник, вращающийся в равномерном магнитном поле c угловой скоростью за время .

Проводники рамки, перемещаясь в магнитном поле, пересекают его, и в них на основании закона электромагнитной индукции возникает ЭДС (рис.2.1.а). Величина ЭДС пропорциональна магнитной индукции В, длине проводника и скорости перемещения проводника относительно поля V_t, или окружной скорости V.

.

Наибольшее значение ЭДС в проводнике, возникает при

,

мгновенное значение ЭДС, возникающей в проводнике рамки в любой момент времени, равно

,

где – максимальное или амплитудное значение ЭДС.

Рис. 2. 1.

За один оборот рамки происходит полный цикл изменения ЭДС.

Если при t = 0 значение ЭДС не равно нулю, то , где аргумент синуса или фаза, характеризующая значение ЭДС в данный момент времени; начальная фаза, определяющая значение ЭДС при t=0.

Время, в течение которого совершается один цикл периодического процесса, называется периодом Т, а число периодов в секунду − частотой f, f = 1/T.

Единицей измерения f является 1/c, или Герц (Гц), − рад/сек.

Выбор частоты промышленных установок в РФ и странах Европы 50Гц обусловлен технико-экономическими соображениями. При меньших частотах габариты, вес и стоимость трансформаторов и машин выше, заметнее пульсации источников света. При увеличении частоты в электрических машинах увеличиваются потери энергии, повышается падение напряжения в проводах.

Волновой график зависимости ЭДС от времени изображен на рис.2.1.в) сплошной линией для , пунктирной – для .

Синусоидальный ток изменяется во времени по синусоидальному закону: .

Т.о., любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой скоростью , начальной фазой .

2.2. Представление синусоидальной функции в комплексной форме.

На рис. 2.2. дана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа.

Комплексное число А имеет действительную (вещественную) часть, которую откладывают по оси абсцисс комплексной плоскости, и мнимую, которую откладывают по оси ординат.

Рис. 2. 2.

Рис.2.2.

На оси действительных значений ставим +1, а на оси мнимых значений +j (j = ). Геометрическое изображение числа А – (а+jb).

Из курса математики известна формула Эйлера .

Комплексное число изображают на комплексной плоскости вектором 0А, численно равным 1 и составляющим угол с осью вещественных значений (осью +1). Угол отсчитывают против часовой стрелки от оси +1. Модуль функции находим, используя теорему Пифагора .

Проекция множителя вращения вектора на оси +1 равна , а на оси +j равна . Умножив обе части формулы Эйлера на амплитудное значение тока , получим .

2.3. Векторные диаграммы.

В электротехнике векторами изображаются ЭДС, напряжения и токи, изменяющиеся по закону синуса.

Рис.2.3.

Радиус - вектор 0А (рис.2.3.а) представляющий собой амплитудное значение Е_m, вращается с постоянной угловой скоростью против часовой стрелки. Проекция вектора 0А на вертикальную ось Y равна .

Выразив 0А через амплитудное значение ЭДС E_m и через t, получим выражение мгновенного значения ЭДС, изменяющейся по закону синуса

,

комплекс тока при t = 0 запишется как I = I_m sin = I_m

На графике мгновенных значений ЭДС (рис.2.3.б) за начало отсчета выбран момент времени, когда радиус-вектор совпадает с горизонтальной осью Х.

Если в момент t = 0 радиус вектор ОА на рис.2.3.а) расположен под углом к оси Х , то проекция Оа’ и, следовательно, e равны

, .

Аналогичным образом можно представить в виде вектора, вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью. Мгновенные значения тока и напряжения _, , где I _m, U_m – комплекс амплитуды.

Если сложить два тока i₁ и i₂ с одинаковой частотой, сумма их даст вектор тока с такой же частотой ; ; .

Для нахождения амплитуды I_m и начальной фазы тока на комплексной плоскости (рис. 2.4.а) ток обозначим вектором _1m= I_1m , а ток вектором _2m= I_2m .

Рис. 2.4.

Геометрическая сумма векторов _1m и _2m дает комплексную амплитуду суммарного тока _m= I_m.

Амплитуда тока _m определяется длинной суммарного вектора, а начальная фаза углом, образованным этим вектором и осью +1. При построении векторных диаграмм исходный вектор (рис.2.4.б) располагают на плоскости произвольно (под углом ), остальные векторы под соответствующими углами ( и ). Величина и направление векторов сохраняются при последующем построении до получения суммарного вектора под углом .

Если бы векторы I_1m, I_2m, I_m, изображенные на рис. 2.4. стали вращаться вокруг начала координат с одинаковой угловой скоростью , то взаимное расположение векторов по отношению друг с другом осталось бы без изменений.

Обычно векторные диаграммы строят не для амплитудных, а для действующих значений, отличающиеся только масштабами, так как .

Итак, векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени с одинаковой частотой и построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе, или более компактное определение это совокупность нескольких векторов. При построении векторных диаграмм один из нескольких векторов (рис.2.4.б) располагают на плоскости произвольно, остальные векторы под соответствующими углами к исходному.

2.4. Среднее и действующее значение синусоидально изменяющейся

величины

Под средним значением синусоидально изменяющееся величины понимают среднее арифметическое значение ее за полпериода (т.к. среднее значение за период равно 0). Среднее значение тока может быть найдено из равенства количества тепла Q, выделяющегося за полупериод при переменном и постоянном токе (соответственно, Q₁ и Q₂). Q₁= Q₂=I_{ср .}

Приравняв Q₁ и Q₂, получим , то есть среднее значение синусоидального тока составляет = 0,637 от амплитудного. Аналогично, , _.

Количество тепла, выделенное за период синусоидальным током, равно

.

Количество тепла, выделенное за то же время постоянным током, равно RI²_постТ.

Приравняв количество тепла, выделенного переменным и постоянным током за период, получим , или .

Т.о., действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток. Когда говорят о величинах напряжения, ЭДС, тока в цепях переменного тока имеют в виду их действующее значение. Действующему значению тока пропорциональна сила, действующая на подвижную рамку измерительного прибора. Шкалы измерительных приборов переменного тока и напряжения градуируются в действующих значениях. Например, если прибор показывает 10 А, то это значит, что амплитуда тока А.

Отношение действующего значения к среднему значению какой-либо периодически изменяющейся величины называется коэффициентом формы кривой. Для синусоидального тока .

2.5. Синусоидальный ток в активном сопротивлении.

Сопротивление переменному току, в котором выделяется энергия в виде тепла, называется активным. Сопротивления, в которых энергия запасается в электрическом или магнитном полях, называют реактивными. Реактивными сопротивлениями обладают индуктивности и емкости. Рассмотрим цепь, содержащую только активное сопротивление.

Рис. 2.5.

.

Выразив мгновенное значение напряжения через амплитудное, получим откуда .

Разделив левую и правую части на , получим закон Ома для цепи с активным сопротивлением, выраженный действующими значения напряжения и тока .

В активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма цепи изображена на рис. 2.5.б), а осциллограммы, напряжения и мощности на рис. 2.5.в).

Мгновенная мощность в цепи с активным сопротивлением равна произведению мгновенных значений тока и напряжения

.

Мгновенная мощность изменяется от 0 до , оставаясь все время положительной. Это означает, что в цепи с активным сопротивлением мощность P все время поступает из сети к потребителю r.

Среднее значение мощности за период

Средняя мощность Р_ср преобразуется в активном сопротивлении в тепло, называется активной, и измеряется ваттметром в Вт.

2.6. Электрическая цепь с индуктивностью

Обмотки электрических машин, трансформаторов, магнитных усилителей, электромагнитов, реле, контакторов, индукторов электрических нагревательных устройств, печей переменного тока и др. обладают значительной индуктивностью. Параметрами катушек являются активное сопротивление R и индуктивность L. Изменяющийся во времени ток наводит в этих катушках ЭДС самоиндукции, которая затягивает нарастание тока и его спад.

Рассмотрим катушку, в которой сопротивление мало и им можно пренебречь.

Рис. 2.6.

Если ток в цепи изменяется по синусоидальному закону, то ЭДС самоиндукции

Уравнение, составленное по 2- ому закону Кирхгофа, для цепи? изображенной на рис. 2.6.а), имеет вид

тогда

Продифференцировав полученное выражение, получим

.

Таким образом, в цепи с индуктивностью, напряжение на индуктивности изменяется по синусоидальному закону, и опережает по фазе ток на .

Напряжение и ток в цепи с индуктивностью связаны соотношениями

Разделив левую и правую части на , получим закон Ома для цепи переменного тока с индуктивностью где индуктивное сопротивление, Ом.

Уравнение цепи для действующих значений .

Т.о., ЭДС самоиндукции может быть определена через ток и индуктивное сопротивление.

Мгновенная мощность в цепи с индуктивностью равна

откуда следует, что мгновенная мощность при чисто индуктивной нагрузке изменяется по закону синуса с частотой, в 2 раза большей частоты тока. Амплитудное значение мощности .

Осциллограмма рис. 2.7. показывает, что среднее значение мощности за период (активная мощность) равно нулю

Рис. 2.7.

В интервале от t = 0 (точка 1) до t = 1/4 (точка 2), когда ток в цепи возрастает от 0 до , электрическая энергия из сети поступает в индуктивность, где преобразуется и накапливается в виде магнитного поля. Эта энергия обозначена заштрихованной площадью p и отмечена знаком «+».

В интервале времени между точками 2 и 3 ток в цепи убывает. Энергия магнитного поля преобразуется в электрическую и возвращается в сеть. Эта мощность на временном графике р отмечена знаком «-». В точке 3 ток и энергия магнитного поля равна 0.

Из временного графика на рис. 2.7. видно, что площади, определяющие запасенную и отданную энергию, равны. Следовательно, энергия, накопленная в магнитном поле индуктивностью L в первую четверть периода, полностью возвращается в сеть во вторую четверть периода.

В следующую четверть периода в интервале времени между точками 3 и 4 изменяется направление тока и магнитного потока. Происходящий процесс, аналогичен процессу в первой четверти периода.

Т.о., в цепи с индуктивностью происходит непрерывный периодический процесс обмена энергией между источником энергии и индуктивностью, причем потерь энергии при этом не возникает.

2.7. Цепь, содержащая сопротивление- r и индуктивность- L

Катушка любого электротехнического устройства обладает активным сопротивлением R и индуктивностью L. При анализе таких цепей катушку обычно изображают в виде двух идеальных элементов r и L, соединенных последовательно (рис. 2.8.а).

Рис. 2.8.

Уравнение напряжений, составленное по второму закону Кирхгофа для rL -цепи, имеет вид: u = u_r + u_L, или в тригонометрической форме: u = I_m r , где u_r = I_m r напряжение на активном сопротивлении, совпадающее по фазе с током;

u_L = напряжение на индуктивном сопротивлении, опережающее по фазе ток на 90°.

На векторной диаграмме (рис. 2.9.б) вектор , совпадает с вектором тока, а вектор опережает вектор тока на 90°. Из треугольника напряжений следует, что вектор напряжения сети равен геометрической сумме векторов и . = + ,

а его величина ,

откуда ,

где полное сопротивление цепи, Ом.

а) б)

Рис. 2. 9.

Из векторной диаграммы следует, что напряжение rL - цепи опережает по фазе ток на угол ; мгновенное значение напряжения ,

угол определяют из отношения

Следовательно, угол зависит только от параметров цепи r и . Умножив стороны треугольника на ток, получим треугольник мощностей (рис.2.9.в), а разделив стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивления (рис.2.9.г). Стороны треугольника сопротивлений представляют собой отрезки, а не векторы, так как сопротивления есть постоянные, не изменяющиеся по закону синуса величины. Пользуясь треугольником сопротивлений, без расчета и построения векторной диаграммы легко определить .

Мгновенная мощность в r L - цепи с равна произведению мгновенных значений напряжения и тока

Средняя мощность за период

.

Выразив произведение синусов через разность косинусов, после интегрирования получим

.

Полученное выражение показывает, что средняя мощность в rL - цепи есть активная мощность, которая выделяется в активном сопротивлении r в виде тепла. График мгновенных значений напряжения и мощности изображен на рис. 2.9.а). Мгновенную мощность удобно представлять в виде суммы мгновенных значений активной и реактивной (индуктивной) мощностей

Дата добавления: 2017-02-01