Логические операции над предикатами

Предикаты, как и высказывания в алгебре высказываний (логики), могут принимать два значения (0 и 1), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний. При этом будут сохранены и обозначения, и названия логических операций, а также будут сохраняться таблицы истинности логических операций.

Рассмотрим применение логических операций логики высказываний к предикатам на примере одноместных предикатов.

Пусть на некотором множестве определены два предиката и .

1. Отрицание предиката. Отрицанием предиката называется новый предикат , который считается истинным при тех значениях , при которых предикат ложен, и ложным при тех значениях , при которых предикат истинен.

Из этого определения следует, что .

2 . Конъюнкция двух предикатов. Конъюнкцией двух предикатов и называется новый предикат , который считается истинным, если оба предиката при значениях истинны, и ложным, если хотя бы один из предикатов ложен.

Ясно, что областью истинности предиката является общая часть областей истинности предикатов и , то есть пересечение .

Например, для предикатов : « – четное число» и : « – кратно 5» конъюнкцией является предикат « – нечетное число и – кратно 5», который фактически может быть представлен предикатом « делится на 10».

3 . Дизъюнкция двух предикатов. Дизъюнкцией двух предикатов и называется новый предикат , который считается истинным, если хотя бы один из предикатов истинен при значениях , и ложным, если оба предиката ложны.

Областью истинности предиката является объединение областей истинности предикатов и , то есть объединение .

4. Импликация двух предикатов. Импликацией двух предикатов и называется новый предикат , который считается ложным при тех значениях , при которых одновременно истинно, а ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Так как при каждом значении справедлива равносильность , то .

5. Эквивалентность (эквиваленция) двух предикатов. Эквивалентностью двух предикатов и называется новый предикат , который считается истинным при тех значениях , при которых о и либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

Так как при каждом значении справедлива равносильность

то .

Дата добавления: 2017-02-01