Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний

Правило исключения третьего в доказуемых формулах

Правило разъединения посылок в доказуемых формулах

Правило соединения посылок в доказуемых формулах

Правило перестановки посылок в доказуемых формулах

Правило введения дизъюнкции

Правило введения конъюнкции

Если существует доказуемая формула , выводимая из совокупности , и существует доказуемая формула , выводимая из совокупности , то существует и доказуемая формула , выводимая из совокупности .

.

├ , ├

├

Если существует доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей , и существует доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей , то существует и доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей .

.

├ ; ├

├

Если формула доказуема, то доказуема и формула , полученная из исходной путем перестановки посылок и .

.

├

├

Если формула доказуема, то доказуема и формула , полученная из исходной путем объединения посылок и .

.

├

├

Если формула доказуема, то доказуема и формула , полученная из исходной путем разъединения посылок и .

.

├

├

12. ├ .

├ .

14. ├ .

Формулы исчисления высказываний можно интерпретировать как формулы алгебры высказываний. Для этого необходимо трактовать переменные исчисления высказываний как переменные алгебры высказываний, в содержательном смысле, принимающие два значения: истина и ложь (1 и 0).

Логические операции будут иметь тот же смысл и определения, как и в алгебре высказываний. Любая формула исчисления высказываний при всех значениях входящих в нее переменных будет принимать одно из двух значений 1 или 0, вычисляемое по правилам алгебры высказываний.

Введем понятие значения формулы исчисления высказываний.

Пусть – формула исчисления высказываний;

– попарно различные переменные, среди которых находятся все переменные, входящие в формулу ;

– набор значений этих переменных, состоящий из 1 и 0 длины n. Вектор () будет иметь значений.

Определим значение формулы на одном таком наборе значений переменных, обозначая его через :

1. Если для формулы ее подформула самой большой глубины есть , то .

2. Если определены значения всех подформул глубины , то подформулы глубины , полученные в результате операций , , , будут иметь значения:

,

,

,

.

Пример 8.5. Определить значения всех подформул формулы , если на наборе значений (0, 1, 1, 0) соответствующих переменных она имеет значение .

Дата добавления: 2017-02-01