Общезначимость и выполнимость формул

Решение

Пример 9.5

Пример 9.4

Предваренная нормальная форма

Нормальная форма логики предикатов – формула, которая содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и кванторные операции, а операция отрицания отнесена к элементарным формулам.

Используя равносильности алгебры высказываний и логики предикатов, каждую формулу логики предикатов можно привести к нормальной форме.

Привести к нормальной форме формулу

.

Решение. Используем равносильные преобразования, которые ранее использовались в алгебре высказываний , получим

Среди формальных форм формул алгебры логики предикатов важное значение имеют так называемы предваренные нормальные формы (ПНФ).

Предваренная нормальная форма логики предикатов – форма, в которой кванторные операции либо полностью отсутствуют, либо они используются после всех операций алгебры логики. Такая формула имеет вид

,

где – один из кванторов или ;

А – формула, не содержащая кванторов.

Теорема. Любая формула логики предикатов может быть приведена к предваренной нормальной форме.

Если в процессе приведения формулы логики предикатов к ПНФ встречается выражение или выражение , то следует воспользоваться равносильностями 5 и 10.

Привести к ПНФ формулу .

Формула логики предикатов, выполнимая в области М, – формула, в которой существуют значения переменных, отнесенных к области М, при которых формула принимает истинные значения.

Выполнимая формула логики предикатов – формула, для которой существует область, в которой она выполнима.

Из определения 2 следует, что если формула выполнима, то это еще не значит, что она выполнима в любой области.

Тождественно истинная в области М формула логики предикатов – формула, которая принимает истинные значения при всех значениях переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к области М.

Общезначимая формула логики предикатов – формула, которая тождественно истинная в любой области.

Тождественно ложная в области М формула логики предикатов – формула, которая принимает ложные значения при всех значениях переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к области М.

Из приведенных определений следует:

1. Если формула А общезначима, то она и выполнима во всякой области.

2. Если формула А тождественно истинная в области М, то она и выполнима в этой области.

3. Если формула А тождественно ложная в области М, то она невыполнима в этой области.

4. Если формула А невыполнима, то она тождественно ложна на всякой области.

В связи с данными определениями можно выделить два класса формул логики предикатов: выполнимых и невыполнимых формул.

Общезначимая формула по-другому еще называется логическим законом (закон исключенного третьего).

Дата добавления: 2017-02-01