Три стороны задачи 1 страница

обратная формула – (10<sup>`</sup>) = – (11`) – (12`)

ε_х= () – (10) ε_у= () – (11)  

формулы ПЛОСКОЙ задачи

ε_х= ; (6) ε_y= ; (7) (8) + =

H

V

y

x

y

x

y

σ_x

σ_y

x

yν

xν

ν

  + + =0 (1) + + =0 (2) (3)  

= l+ = n+   l = cos (x,) n = cos (y,)

Вопрос:

Как будет деформироваться брус?

1). Изотропный материал

2). Анизотропность создана конструктивно (искусственно)

металл

дерево

отверстие

трещина

Общая постановка задачи ТУ выполняет:

задание условий запрещения и условия нагружения на контуре

u = u^* Х_ν=…………..

^{V = V*} У_ν=…………..

а в области тела – объемные силы

,

а также решения статич., геометр. и физических уравнений (1-8) в области.

Восемь уравнений и восемь неизвестных!

Доказана теорема об единственности решения!

На основе этой теоремы можно построить обратный метод решения

Отметим, общее решение (х) дифференциального уравнения равновесия с помощью функции напряжения ε(ху) и возможности сведения решения плоской задачи ТУ к одному уравнению ▼²▼² ε(ху)=0

Отметим возможность выражения закона Гука в прямой (6-8) и обратной (6^{`</sup>-7<sup>`}-8^`) формах.

   

Общее решение

Общая постановка плоской задачи ТУ

На контуре:

заданы перемещения

заданы компоненты напряжений

В области:

заданы объемные силы

ТЕОРЕМА О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ

   

   

 

Y

;  

Восемь неизвестных, восемь уравнений

Г₁

Два метода решения плоской задачи:

1. В перемещениях u(х, у)=? V(х, у)=?

Сводится к двум уравнениям, выражающим условия равновесия с учетом геометрических и физических зависимостей

2. В напряжениях σ_х=?, σ_у=?, τ_ху=?

три уравнения

3. С помощью ε(х, у) ▼²▼² ε(ху)=0

Решение в напряжениях:

 

Используем общее решение которое подставляем в (3): при = =const или Бигармоническое уравнение

Решение в c помощью функции  

 

схема вывода (получения) разрешающих уравнений

Решение в перемещениях:u=? V=?

Два вида плоской задачи сводятся к одному типу разрешаемых уравнений, благодаря физическим модулям , и ,

при плоском напряженном состоянии главный вектор напряжений лежит в плоскости х,у, т.к. σ_z=0

но деформация ε_z ≠ 0 ε_z=

При плоской деформации ε_z = 0, но σ_z= μ(σ_х +σ_у) ≠ 0

главный вектор деформации лежит в плоскости х,у, т.к. ε_z = 0.

Плоское напряженное состояние	Плоская деформация
Z Y X .	z x z y
E   μ	.

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА

Примеры снижения размерности задач

Некоторые трехмерные задачи при определенных условиях могут быть приведены к двумерным т.е. плоским задачам.

Аналогично: некоторые двумерные задачи – сведены к одномерным.

Если же условия однотипности выделяемых элементов (по форме и размерам исходного тела и его нагружении) не выполнимы, то прием снижения размерности не применим.

y

Трехмерная задача сведена к 2^х мерной плоской задаче

z

x

x

y

z

Двухмерная задача сведена к одномерной задаче

Можно ли в таком случае снизить размерность задачи, т.е. упростить ее?

Примеры снижения размерности задачи

Расчет пространственной (3х мерной) плотины сводится к плоской задаче. Учитывается вес плотины и нагружения напорной грани. Используя принцип Сен-Венана, рассматриваем только верхнюю часть плотины, т.е. считаем что удаленная от верха фундаментная часть и основание плотины мало влияют на НДС ее верхней части. Формулируем граничные условия: по два на каждой грани. Решаем плоскую задачу с помощью ξ(ху) обратным методом. Задаемся полиномом ξ(ху) третьей степени, т.к. НДС плотины содержит изгиб и внецентренное сжатие – растяжение. Для определения 4-х коэффициентов имеются 4-е граничных условия.

Бигармоническое уравнение 4-го порядка удовлетворяется при любых коэффициентах a, b, c, d, т.к. полином третьей степени.

Таким образом, решение сводится к определению a, b, c, d, которые удовлетворяли бы 4-м граничным условиям (уравнениям). Есть основание полагать, что заданный полином ξ позволит решить задачу, т.к. он удовлетворяет бигармоническому уравнению и всем граничным условиям на гранях х=0 и х=уtgβ. Если бы этого не случилось, то пришлось бы делать вторую попытку, внося коррективы в полином ξ(х,у). Определили a, b, c, d и вычисляем напряжения

σ_х= , σ_у= , τ_ху=- ,

Строим эпюры и траектории главных напряжений (учитываем, что на гранях касательные напряжения =0, т.е. что они являются главными площадками).

Находим, что при β ≥ 35^○ растягивающие напр. σ_у отсутствует. Гравитационная плотина может быть сложена из прижимающихся друг к другу камней-блоков.

Расчёт гравитационной плотины треугольного профиля (верхней части)

Граничные условия:  

 

 

 

 

НДС плотины: изгиб + внецентренное сжатие-растяжение

Задаемся:

Находим:

Траектории главных напряжений

при , т.е. растяжения не будет    

 

 

Из условии 1-4 находим

 

 

 

-

Y x dr d z Нагрузка не зависит от НДС не зависит от Плоская деформация ;	Статические уравнения
Пример. Толстостенная труба Физические уравнения Геометрические уравнения
Осесимметричная задача
Приr Приr Граничные условия:

Плоская задача в полярных координатах

Дата добавления: 2017-02-01