Пространственная задача ТУ. Учет третьего измерения приводит к увеличению числа разрешающих уравнений
статических уравнений – 3 с учетом взаимности касательных напряжений
геометрических ур-ий – 6 (и шесть уравнений неразрывной деформации)
физических уравнений – 6
Всего 15 уравнений с 15 неизвестными.
σх σу σz εх εу εz u V W
τху τxz τyz γxy γxz γyz
Прикладная теория упругости отличается введением новых гипотез (типа гипотез сопротивления материалов). Рассмотрим поперечный изгиб точных плит. Учитывая толщину плиты и только поперечную нагрузку qz, вводим гипотезы ненадавливания волокон, прямой нормали к изогнутой срединной поверхности, и недеформируемость срединной поверхности) сводим трехмерную задачу к двумерной с искомой функцией прогибов w(х,у); а u=-z , V=-z
Разрешающее уравнение ▼2▼2 w(x,y)= , с заданными условиями закрепления плиты
Физическая картина работ тонкой плиты на поперечный изгиб:
изгиб в двух направлениях, сопровождающийся взаимным скручиванием
σх → Мх (х,у) Мх (х,у) ← σу
τху → Нху (х,у) Нху (х,у) ← τух
τyz → Qxz Qxz ← τуz
Эти усилия изображены на рис.
Там же показаны напряжения, которые образуют эти усилия.
X
Z
y
Вывод геометрических, физических и статических уравнений и выражение их через искомую функцию прогибов w(х, у)
Геометрические
Статические
Физические
Находим из условий равновесия
dy
▼2▼2 w(x,y)= , Д =
▼2▼2 w(x,y)= ,
Сводка формул
X
Z
Y
Уравнение Софи Жермен
;
;
;
;
;
;
;
;
;
изгиб в двух направлениях с кручением
Условия закрепления. На каждом крае по два условия, что соответствует порядку уравнения С. Жермен
На свободном крае три условия также сведены к двум.
Ближе к реальным условиям:
· опирание на упругую балку
· опирание на упругие опоры
Условия закрепления
опирание на
упругую
балку
шарнирное опирание
+ в углах сосред. cила H
При x=0:
1) W=0;
2)
жесткая заделка
свободный край
Z
X
Y
При Y=0: 1)W=0; 2)
или
Цилиндрический изгиб тонкой плиты возможен при условиях неизменности формы, условия закрепления плиты и нагрузки в направлении длинных сторон. Расчёт сводится к изгибу отдельной (условной) балки с жесткостью Д.
«балка», выделенная из плиты
отдельная балка
Сравнение НДС
Деформации поперечных сечений балки
Прогибы меньше
чем в отдельной балке
Нагрузка qz и прогибы W не зависят от у
q
X
X
y
z
X
z
y
Z
x
Y
> ;
Д =
Цилиндрический изгиб тонкой плиты
Поперечный изгиб пластинки, контур которой очерчен по эллипсу:
Используем обратный метод решения.
Задаем W = C и проверяем условия при которых такой прогиб возможен:
Уравнение С. Жермен удовлетворяется при условии постоянного коэффициента
С =
Условия закрепления на контуре
1) W=0 2)
т.е. данная пластина жестко защемлена на контуре и загружена постоянной нагрузкой q=const.
Частный случай: при а=b имеем круглую пластину.
Видно, что прогибы и изгибающие моменты в плите значительно меньше, чем у балки-полоски выделенной из плиты, т.к. плита изгибается в двух направлениях.
Исследуем изгиб прямоугольной в плане плиты.
Обратным методом.
Задали W=A sin sin
при этом на контуре 1). W=0 2). , т.е. Мn=0
т.е. опирание шарнирное.
Уравнение С. Жермен удовлетворяется при условиях
qz = q0 sin sin и А=
Это решение можно обобщить на другую нагрузку задания
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2025) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление
и только поперечную нагрузку qz, вводим гипотезы ненадавливания волокон, прямой нормали к изогнутой срединной поверхности, и недеформируемость срединной поверхности) сводим трехмерную задачу к двумерной с искомой функцией прогибов w(х,у); а u=-z 
, V=-z 
, 
с заданными условиями закрепления плиты
r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> 
;
;
> 
толстые плиты
< 
<< 
, Д = 
, 
Уравнение Софи Жермен
;
;
;
;
;
;
;
;
;
изгиб в двух направлениях с кручением
> 
;
Д = 
и проверяем условия при которых такой прогиб возможен:
sin 
, т.е. Мn=0
Amnsin 
sin 
