Тема 1.1. Функція та послідовність. Границя послідовності

Основні показники виробничої програми.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Закон України „Про відновлення платоспроможності або визнання його банкрутом” від 30.06.1999р. №784-ХІV.

2. Закон України „Про заставу” від 02.10.1992р. №2654-ХІІ.

3. Бабич Л.М. Актуальні проблеми удосконалення організаційно-методичного механізму запобігання банкрутству на підприємстві//Актуальні проблеми економіки 2009 №4(22), с.71-75.

4. Голуб Г.Г. Оцінка ліквідаційного балансу банку// Фінанси України 5(90) травень 2003.-133-140.

5. Зубовський В.М. Економіка підприємств- Київ, 2006.- 64 с;

6. Кравченко С.Г "Экономический анализ",.- Харьков, ХИБМД996.- 88с.

7. Поддєрьогін А.М. Фінанси підприємств: підручник, 2-ге вид., перероб. та доп.-К.:КНЕУ, 2006.-384с.

8. Покропивний С.Ф. Економіка підприємства: підручник.-вид.2-ге, перероб. та доп.-К.:КНЕУ, 2007,-528с.

9. Пронін К.Н. Методика визначення ймовірності банкрутства підприємств// Актуальні проблеми економіки 2009.-№7(25).-с.56-62.

10. Слюсар Т.О. Аналіз фінансового стану майбутніх банкрутів// Вісник НБУ(2 прим.).2008.-№2с 8-15.

11. Терещенко О.О. Фінансова санація та банкрутство підприємств: Навч. Посіб.-К.:КНЕУ, 2007.-412с.

12. Фокіна Н.П. Прогнозування криз та банкрутств промислових підприємств// Актуальні проблеми економіки 2009 №2 с.76-78.

Для виконання розрахунків з курсової роботи з дисципліни «Організація та планування підприємств» необхідно використати результати розрахунків виробничої програми курсового проекту з дисципліни «Технічна експлуатація автомобілів» і занести їх в таблиці 1 і 2.

Таблиця 1. Показники виробничої програми

Показники	Позначення	Одиниці виміру	Чилові значення
Підрозділ:	Агрегатне відділення
Модель автомобіля:	БАЗ А-092
Інвентарна кількість автомобілів	Аі	шт.
Річний пробіг автомобілів	Lрічн	км
Категорія умов експлуатації	КУЕ	-	IІІ
Річна трудомістність робіт по ТО і ПР (АТП)	Трзаг	люд.год
Річна трудомістність робіт по ТО і ПР (підрозділ)	Трпідр	люд.год	39125,8
Площа приміщення	S	м^2
Висота приміщення	H	м	4,8
Вартість обладнання	B*обл	грн.
Встановлена потужність споживачів силової електроенергії	Рвст.	кВт	12,5
Річний фонд робочого часу обладнання	Фобл	грн

Мета.Дати поняття функції та послідовності як функції на множинні натуральних чисел. Розглянути їх властивості та застосування.

План.

1. Поняття про функцію. Область визначення та область існування функції.

2. Способи задання функції.

3. Обернена та складена функції.

4. Класи елементарних функцій.

5. Числові послідовності та їх границі.

6. Основні теореми про границю числових послідовностей.

1. Нехай задано дві множини E та F. Якщо відоме правило (закон), за яким елементам множини E ставляться у відповідність елементи множини F, то кажуть, що множина E відображається у множину F. Якщо кожному елементові множини E ставиться у відповідність один і лише один елемент множини F, то кажуть, що задано взаємнооднозначне відображення множини E у множину F.

Ін'єкцією (ін'єктивним відображенням, ін'єктивною функцією) називається таке співвідношення між елементами двох множин, яке одному елементу з першої множини зіставляє один і тільки один елемент з другої множини.

Сюр'єкція (сюр'єктивне відображення, сюр'єктивна функція, відображення на…) — це відповідність між двома множинами, в якій з кожним елементом другої множини асоціюється щонайменш один (або більше) елементів першої множини.

Бієкція (бієктивна функція, бієктивне відображення, взаємно однозначна відповідність) — це відображення, яке є одночасно сюр'єктивним та ін'єктивним.

Нехай дано множину Е дійсних чисел. Якщо кожному числу xОE за певним законом потавлено у відповідність одне дійсне число y, то кажуть, що на множині E задана (визначена) функція, і записують y=f(x) (ігрек дорівнює еф від ікса). x називають незалежною змінною або аргументом, а y - залежною змінною, або функцією. Множина E при цьому називається областю існування, або областю визначення функції y=f(x).

Щоб задати функцію, треба мати, по-перше, область визначення функції (конкретну множину, скінчену чи нескінчену), і, по-друге, закон відповідності.

Дві функції вважаються рівними або тотожними, якщо в них одна і та сама область визначення і один закон відповідності. Наприклад, функції f(x)=lgx²,xО(0;+Ґ), і j(x)=2lgx,xО(0;+Ґ) є тотожними. Проте функція f(x)=lgx², xО(-Ґ;0)И(0;+Ґ), і функція j(x)=2lgx,xО(0;+Ґ) не тотожні, бо мають різну область визначення.

Якщо функція f(x) визначена на множині E і x₀ - довільна точка множини E, то число y₀, якому функція f поставила у відповідність точку x₀ (y₀=f(x₀)) називається значенням функції в точці x₀. Множина всіх таких значень заданої функції називається множиною значень або областю існування функції і традиційно позначається E(f).

Розглянемо прямокутну декартову систему координат на площині. На осі абсцис відкладемо множину, що відповідає множині E і побудуємо точку M(x,f(x)). При переміщені точки x вздовж множини E точка M описує деяку лінію. Ця лінія називається графіком функції f(x).

Основними характеристиками функції є її парність чи непарність, періодичність чи неперіодичність, монотонність на проміжках області визначення (пригадайте ці поняття з шкільного курсу).

2. Функція може бути задана багатьма способами. Розглянемо деякі з них.

1). Аналітичний спосіб. Як правило, функція задається за допомогою формули. У цьому випадку областю визначення є множина всіх точок x, при яких математичний вираз має зміст.

Наприклад, . Знайдемо область визначення

Після розв’язання першого рівняння системи отримаємо xО[2;5], а після розв’язання другого - xО(0;7). Остаточний розв’язок xО[2;5].

2). Графічний спосіб. У цьому випадку відповідність між значеннями x та y встановлюється за допомогою заданого графіка, по якому для кожного значення x можна визначити значення y і навпаки (проте – тыльки наближено!!). Графічне зображення відтворює загальний процес проходження модельованого процесу в його розвиткові.

На практиці графічне подання функції спостерігаємо під час роботи приладів- самописців (наприклад електрокардіограма, барограф тощо).

3). Алгоритмічний чи машинний спосіб. В цьому випадку задається алгоритм чи програма, яка для кожного значення x обраховує відповідне йому значення y=f(x). Часто така програма закладена в пам’ять ПК чи калькулятора і обчислює значення функції автоматично (наприклад, калькулятор обраховує значення синуса, косинуса, експотенціальної функції і т.д.). Для сучасних мов програмування такий спосіб характерний для модулів (Паскаль) чи бібліотек (С++, Java).

4). Табличний спосіб. Функція задається у вигляді таблиці деяких значень аргументу і відповідних їм значень функції. Відомі чотиризначні таблиці Брадіса, які подають значення для функцій y=x², y=lgx, y=1/x, тригонометричних функцій тощо.

На практиці таке задання часто спостерігаємо при проведенні дослідів з фізики, різноманітних спостереженнях.

5). Словесний спосіб. Функція чи її властивості описуються реченнями.

Наприклад, «f(x) дорівнює цілому числу, яке не перевищує x». З слів ясно, що f(2,4)=2; f(4)=4; f(-3,7)=-4... Ця функція позначається f(x)= [ x ] (ціла частина від x) і має назву функції Антьє.

Якщо функція задана аналітичним рівнянням y=f(x), то вона називається явно заданою: y=3x-4, y=x²-sinx.

Якщо функція задана аналітичним рівнянням виду F(x,y)=0, то вона називається неявно заданою: 2y+3x-4=0, y²-sinx+xy=0.

3. Означення. Функція, задана у вигляді y=f(g(x)), називається складеною функцією, утвореною з функцій f і g, або суперпозицією функцій g і f. Складену функцію часто записують у вигляді

y=f(u), де u=g(x).

При цьому аргумент x називають незалежною змінною, а u - проміжним аргументом. Наприклад, y=cos(3x+2) є складеною функцією, утвореною з функцій f(u)=cosu і u=g(x)=3x+2; функція y=2lg(3x-1)²+6 можна розписати як y=f(u)=2u+3, u=g(v)=lgv, v=h(m)=m², m=k(x)=3x-1.

Нехай задано функцію y=f(x).

Якщо кожному значенню функції y з множини значень E(f) відповідає одне і тільки одне значення аргументу х з області D(f), таке, що y=f(x), то кажуть, що функція y=f(x) є оборотною.

Якщо функція y=f(x) є оборотною, то функція x=g(y), де y - аргумент, а x - функція є оберненою до функції y=f(x). Причому область значень функції співпадає з областю визначення функції, оберненої до неї, і навпаки.

З означення слідують тотожності: y=f(g(y)), x=g(f(x)). Якщо для позначення використовувати для аргументу символ x, а для функції символ y, то отримаємо формулу y=g(x). Обернена функція часто позначається символом f^-1. Зрозуміло, що функції f та f^-1 взаємнообернені. Графіки взаємнообернених функцій симетричні відносно бісектриси першого та третього координатних кутів.

4. Функції

- степенева y=x^a;

- показникова y=a^x, (а>0, a¹1);

- логарифмічна y=log_ax, (а>0, a¹1);

- тригонометричні y=sinx; y=cosx; y=tgx; y=ctgx;

- обернені тригонометричні y=arcsinx; y=arccosx; y=arctgx; y=arcctgx;

- стала функція y=c

називаються основними елементарними функціями.

Основні елементарні функції, а також ті, які отримані з допомогою скінченного числа арифметичних дій і суперпозицій елементарних функцій називаються елементарними функціями.

Елементарні функції поділяються на такі класи:

1). Цілі раціональні функції. Це функції вигляду

y=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n-1x+a_n, де a_k (k=1,2,...,n)- сталі дійсні числа. Цілі раціональні функції часто називають алгебраїчними многочленами, числа - їх коефіцієнтами, а якщо a_n№0, то число n- степенем многочлена.

2). Раціональні (дробово-раціональні) функції. Функції вигляду y=f/g, де f=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n-1x+a_{n ,} а g=b₀x^m+b₁x^m-1+...+b_m-1x+b_m - цілі раціональні функції, тобто є часткою цілих раціональних функцій. Якщо m=0 і b₀№0, то раціональна функція є ціла раціональна функція. Якшо функція не є цілою, то вона називається дробово - раціональною.

3). Ірраціональні функції. Це функції, задані за допомогою суперпозицій раціональних функцій, степеневих функцій з раціональними показниками і чотирьох арифметичних дій, застосованих скінчене число раз.

4). Алгебраїчні функції. Функція y від x називається алгебраїчною, якщо вона задовольняє рівняння

P₀(x)yⁿ+P₁(x)y^n-1+...+P_n-1(x)y+P_n(x)=0, де P_k(x)- алгебраїчні многочлени від x.

Всі раціональні та ірраціональні функції є алгебраїчними.

5). Функції, які не є алгебраїчними називаються трансцендентними. Можна показати, що тригонометричні, обернено тригонометричні, показникова і логарифмічна функції, а також їх суперпозиції і функції, утворені з них за допомогою дій є трансцендентними.

5. Нескінченною числовою послідовністю називається числова функція f, задана на множині натуральних чисел (N). Позначають. як правило, а_n=f(n). a₁, a₂,..., a_n,... a₁- перший член послідовності, a_n - n-ий або загальний член послідовності.

Послідовність можна задати

- формулою: ; тоді a₁=3, a₂=6/4, a₃=6/9...

- рекурентно (індуктивно), тобто задати кілька початкових значень і рекурентне співвідношення, за допомогою якого кожен наступний член виражається через попередні:

a₁=1, a₂=1, a_n= a_n-1+ a_n-2.

Отримаємо послідовність чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... Така послідовність називається числами Фібоначчі.

Послідовність називається зростаючою (спадною), якщо кожен наступний її член більший (менший) від попереднього.

Послідовність називається неспадною (незростаючою), якщо кожен наступний її член більший чи рівний (менший чи рівний) від попереднього.

Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує таке число M, що "n: a_nЈM.

Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує таке число m, що "n: a_nіm.

Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху, і знизу.

Число A називається границею послідовності a_n ({ a_n }), якщо для будь- якого e>0, існує номер N₀, що для всіх номерів, більших за N₀ справджується нерівність:| a_n - А|<e. Записують =A. Послідовність, яка має границю називається збіжною; яка не має границі- розбіжною.

Приклад:

Довести, що границею послідовності (2n+5)/n є число 2.

Розв’язок:

Для доведення досить показати, що існує номер N, що для всіх номерів, що його перевищують модуль різниці (2n+5)/n і числа 2 менший за e.

(2n+5)/n - 2= (2n+5-2n)/n=5/n; 5/n<e, то n>5/e. Таким номером, наприклад, для числа e=0,0001,буде n=50000.

6. Для числових послідовностей справедливі наступні твердження.

Теорема 1. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Теорема 2. Кожна послідовність має не більш як одну границю.

Означення. Послідовність називають нескінченно малою, якщо її границя дорівнює нулю.

Теорема 3. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Доведення.

Нехай {a_n} і{b_n}- нескінченно малі послідовності. Тоді для довільного e>0 існують N₁, N₂, такі, що

"n>N₁: | a_n |<e/2 (1)

"n>N₂: | b_n |<e/2 (2)

взявши N=max{ N₁, N₂}маємо, що "n>N виконуються нерівності (1) і (2) одночасно. Тому | a_n+ b_n |<e/2+e/2=e. Отже, lim (a_n+ b_n)=0.

Теорему доведено.

Дата добавления: 2017-02-01