Теорема 4. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно мала послідовність.

Теорема 5. Нехай задано послідовність {a_n}. тоді, якщо =a, то a_n=a+ a_n, де =0. І навпаки, якщо a_n=a+ a_n, то =a.

Теорема 6. Якщо послідовності {a_n} і{b_n}- збіжні, то їх сума{a_n+b_n}- також збіжна послідовність і + = .

Теорема 7. Якщо послідовності {a_n} і{b_n}- збіжні, то їх добуток{a_nb_n}- також збіжна послідовність і = .

Наслідок 1. Сталий множник можна винести за знак границі: c = .

Наслідок 2. Якщо послідовності {a_n} і{b_n}- збіжні, то їх різниця{a_n-b_n}- також збіжна послідовність і - = .

Теорема 8. Якщо послідовності {a_n} і{b_n}, де b_n№0 для всіх n, збіжні і №0, то їх частка{a_n/b_n}- також збіжна послідовність і / = .

Означення. Послідовність називається нескінченно великою, якщо для кожного додатнього A знайдеться таке N, що для всіх n>N виконується нерівність | a_n |>A. Границю такої послідовності вважають рівною нескінченності.

Надалі при формулюванні та доведенні теорем будемо застосовувати спеціальні позначення, які називають кванторами. Так, символ " позначає поняття «для всіх», його ще називають квантором загальності, а символ $ позначає поняття «знайдеться», і його називають квантором існування. Символ $! позначає поняття «існує, причому єдине».

Теорема 9. Якщо послідовність {a_n}, де a_n№0 для всіх n- нескінченно велика, то послідовність {1/a_n}- нескінченно мала і навпаки.

Доведення.

Нехай {a_n}- нескінченно велика послідовність. Тоді ("A>0) $N("n>N): | a_n |>A. (1)

Приймемо e=1/A, тоді з (1) випливає, що 1/ | a_n |<1/A=e. Отже, =0 і послідовність є нескінченно малою.

Доведення другої частини проводиться в зворотному порядку. (Проведіть його).

Теорема (Вейєрштраса). Якщо числова послідовність зростає (спадає) і обмежена зверху (знизу) то вона має скінченну границю.

Дата добавления: 2017-02-01